Question

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD.Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại E

a) Cho AB = 5cm, AC= 7cm, tính BC ?

b) CM: tam giac ABE = tam giac DBE

c) Gọi F là giao điểm của DE và BA, chứng minh EF = EC

d) CM : BE là trung trực của đoạn thẳng FC

Answer 1

a) Vì: \(\Delta ABC\) vuông tại A

=> \(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay \(BC^2=5^2+7^2\)

\(BC^2=25+49\)

\(BC^2=74\)

=> \(BC=\sqrt{74}\)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\) có:

BA = BD (gt)

\(\widehat{BAE}=\widehat{BDE}\) ( = 90⁰)

BE (chung)

Do đó: \(\Delta ABE=\Delta DBE\left(c-g-c\right)\)

c) Vì \(\Delta ABE=\Delta DBE\) (cmt)

=> AE = DE (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta EAF\) và \(\Delta EDC\) có:

\(\widehat{AEF}=\widehat{DEC}\) (đối đỉnh)

AE = DE (cmt)

\(\widehat{FAE}=\widehat{CDE}\) = 90⁰

Do đó: \(\Delta EAF=\Delta EDC\) (g-c-g)

=> EF = EC (hai cạnh tương ứng)

d) Vì \(\Delta ABE=\Delta DBE\) (cmt)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\) (hai góc tương ứng)

=> BE là tia phân giác \(\widehat{B}\)

Vì \(\Delta AEF=\Delta DFC\) (cmt)

=> AF = DC (hai cạnh tương ứng)

mà BA = BD

Do đó: BA + AF = DC + BD

hay BF = BC

=> \(\Delta BFC\) cân tại B

mà BE là tia phân giác \(\widehat{B}\)

=> BE là đường trung trực của đoạn thẳng FC

Answer 2

a. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ( góc A=90^o) có:

BC² = AB²+AC²

=> BC = \(\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)(cm)

Vậy BC = \(\sqrt{74}\) cm

b. Xét tam giác ABE và tam giác DBE (góc BAE=góc BDE=90^o ) có:

BE chung

BA = BD (gt)

=> tam giác ABE = tam giác DBE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

c. Xét tam giác AEF và tam giác DEC có:

Góc AEF = góc DEC (đối đỉnh)

AE = DE (tam giác ABE=tam giác DBE)

Góc EAF = góc EDC ( =90^o)

=> tam giác AEF = tam giác DEC (g.c.g)

=> EF = EC

d. Ta có: BF = AB+AF

BC = BD+CD

Mà AB=BD(gt)

AF=CD (tam giác AEF=tam giác DEC)

=> BF=BC. (1)

Mặt khác, EF = EC (câu c) (2)

Từ (1) và (2) => BE là trung trực của FC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)