Bài 2: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH.
Trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại D, vẽ nửa đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
c) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (I) và (K).
d) Nếu góc ACB =30°; CH=4cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây CE và cung CE.
a: Xét (I) có
ΔHDB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHDB vuông tại D
=>HD\(\perp\)AB tại D
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCEH vuông tại E
=>HE\(\perp\)AC
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
b: ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)
mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{CAH}\right)\)
nên \(\widehat{ADE}=\widehat{C}\)
mà \(\widehat{ADE}+\widehat{EDB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{EDB}+\widehat{ECB}=180^0\)
=>EDBC là tứ giác nội tiếp
c:
Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH};\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)
Ta có: HD\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: HD//AC
=>\(\widehat{IHD}=\widehat{C}\)(hai góc đồng vị)
Ta có: HE\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: HE//AB
=>\(\widehat{CHE}=\widehat{B}\)
Ta có: \(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)
\(=\widehat{EAH}+\widehat{IHD}\)
\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)
=>ED\(\perp\)DI
=>ED là tiếp tuyến của (I)
\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)
\(=\widehat{KHE}+\widehat{DAH}\)
\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)
=>KE là tiếp tuyến của (K)
.
