Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dat

Bài 1:Cho các số dương x, y , z thỏa mãn : x\(^2\)+y\(^2\)+z\(^2\)≥1. CMR: \(\dfrac{x^3}{y}\)+\(\dfrac{y^3}{z}\)+\(\dfrac{z^3}{x}\)≥1

Bài 2: Cho xyz=1 va5 x+y+z = 3 . Tìm min của B= x\(^{16}\)+\(y^{16}\)+\(z^{16}\)

Bài 3: a,Cho ba số dương a , b ,c sao cho a+b+c =3 . cm

\(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{c^3+bc}+\dfrac{c}{a^3+bc}\)\(\dfrac{3}{2}\)

b, Cho ba số thực a, b , c không âm sao cho a+b+c=1

cm: b+c ≥ 16abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\). Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\) thì tam giác đó là tam giác đều

Unruly Kid
7 tháng 12 2017 lúc 11:30

1) Đặt T là vế trái của BĐT

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:

\(T=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Unruly Kid
7 tháng 12 2017 lúc 11:33

3)b) Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM ta có:

\(b+c=\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(b+c\right)4a\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge16abc\)

Unruly Kid
7 tháng 12 2017 lúc 11:39

4) Đặt T là vế trái của đẳng thức.Do a,b,c dương nên áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{c}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\)

Cộng vế theo vế rồi rút gọn ta được:

\(T\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. Hay VT=VP khi tam giác ABC đều(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Lê Phương Thùy
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết
Dat
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Lê Đình Dương
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết