Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Phương Thùy

1.cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=2. tìm giá trị biểu thức

M = \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

2. cho a, b, c >0 và a+b+c = 3

Cm: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\) \(\ge3\)

Akai Haruma
8 tháng 1 2019 lúc 0:07

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số thực dương ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{4}}=z\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow M+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}+\frac{x+y}{4}\geq x+y+z\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy GTNN của $M$ là $1$. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{2}{3}$

Akai Haruma
8 tháng 1 2019 lúc 0:38

Bài 2:

\(\text{VT}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+(b+1)-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+(c+1)-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)

\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)

\(=6-M(*)\)

Xét \(M=\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(M\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}=\frac{ab+bc+ac+3}{2}\)

\(\leq \frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{2}=3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}=6-M\geq 6-3=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Akai Haruma
8 tháng 1 2019 lúc 0:40

Cách khác bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)(y+z+x+z+x+y)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow M=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy GTNN của $M$ là $1$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
Ngọc Hồng
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết