Question

Bài 10: Cho tam giác ABC, trung tuyến AD có G là trọng tâm. Vẽ đường thẳng d qua G cắt cạnh AB; AC lần lượt tại E; F. Chứng minh:

a) \(\frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=3\)

b) \(\frac{BE}{AE}+\frac{CE}{AF}=1\)

Answer 1

b/EF//BM//CN theo Thales ta lại có

\(\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG},\frac{CF}{AF}=\frac{NG}{AG}\).Vậy \(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{MG+NG}{AG}=\frac{GD+MD+GD-ND}{AG}\left(MD=ND\right)=\frac{2GD}{AG}=\frac{2.1}{2}=1\)

Answer 2

a/Từ B,C vẽ các đ/thẳng//EF cắt AD tại M,N

Xét tgiac BMD và CND có

BD=DC, NC//BM//EF

Suy ra tgiac BMD=CND(g-c-g)

Suy ra DM=DN

Vì BM//CN//EF theo Thales ta có

\(\frac{AB}{AE}=\frac{AM}{AG},\frac{AC}{AF}=\frac{AN}{AG}\)

Vậy \(\frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=\frac{AM+AN}{AG}=\frac{AD+DM+AD-DN}{AG}\left(DM=DN\right)=\frac{2AD}{AG}=\frac{2.3}{2}=3\)