Bài 1: Tìm số nguyên a để \(\frac{a^2+a+3}{a+1}\)mang giá trị nguyên.
Bài 2: Cho 3 phân số tối giản có tổng bằng \(\frac{213}{70}\). Tử số của chúng tỉ lệ với 3;4;5 và mẫu số của chúng tỉ lệ với 5;1;2. Tìm 3 phân số đó.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
Bài 1:
\(A=\frac{a^2+a+3}{a+1}.\)
Để A nguyên thì:
\(a^2+a+3⋮a+1\)
\(\Rightarrow a.\left(a+1\right)+3⋮a+1.\)
Vì \(a.\left(a+1\right)⋮a+1\)
\(\Rightarrow3⋮a+1\)
\(\Rightarrow a+1\inƯC\left(3\right).\)
\(\Rightarrow a+1\in\left\{\pm1;\pm3\right\}.\)
Ta có bảng sau:
Vậy \(a\in\left\{0;-2;2;-4\right\}\).
Bài 3:
Gọi \(2n+1=a^2;3n+1=b^2\left(a,b\in N,10\le n\le99\right).\)
Ta có: \(10\le n\le99\)
\(\Rightarrow21\le a^2\le199.\)
Mà \(2n+1\) lẻ.
\(\Rightarrow2n+1=a^2\in\left\{25;49;81;121;169\right\}.\)
\(\Rightarrow n\in\left\{12;24;40;60;84\right\}.\)
\(\Rightarrow3n+1\in\left\{37;73;121;181;253\right\}\)
Mà \(3n+1\) là số chính phương.
\(\Rightarrow3n+1=121\)
\(\Rightarrow3n=120\)
\(\Rightarrow n=120:3\)
\(\Rightarrow n=40\)
Vậy \(n=40.\)
Chúc bạn học tốt!
