Câu hỏi của Nguyễn Thị Thu Hằng

Question

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên

a, $x^2+y^2=x+y+xy$

b,$x^2-2x-11=y^2$

c, $x^2+2y^2-3xy-x-y+3=0$

Bài 2: Tìm x,y thuộc Z

$y=\sqrt{x^2+2x+4}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a/ $x^2-\left(y+1\right)x+y^2-y=0$

$\Delta=\left(y+1\right)^2-4\left(y^2-y\right)\ge0$

$\Leftrightarrow-3y^2+6y+1\ge0$

$\Rightarrow\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow y=\left\{0;1;2\right\}$

- Với $y=0\Rightarrow x^2-x=0\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}$

- Với $y=1\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x=\left\{0;2\right\}$

- Với $y=2\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}$

b/ $\Leftrightarrow x^2-2x+1-y^2=12$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-y^2=12$

$\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y-1\right)=12$

Do $\left(x-y-1\right)+\left(x+y-1\right)=2x-2$ chẵn nên $x-y-1$ và $x+y-1$ có cùng tính chẵn lẻ

$\Rightarrow$ Chỉ cần xét các cặp ước có cùng tính chẵn lẻ của 12 là $\left(2;6\right);\left(6;2\right)$

TH1: $\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=2\x+y-1=6\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow...$

TH2: $\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=2\x+y-1=6\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow...$Câu trả lời: a/ $x^2-\left(y+1\right)x+y^2-y=0$

$\Delta=\left(y+1\right)^2-4\left(y^2-y\right)\ge0$

$\Leftrightarrow-3y^2+6y+1\ge0$

$\Rightarrow\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow y=\left\{0;1;2\right\}$

- Với $y=0\Rightarrow x^2-x=0\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}$

- Với $y=1\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x=\left\{0;2\right\}$

- Với $y=2\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}$

b/ $\Leftrightarrow x^2-2x+1-y^2=12$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-y^2=12$

$\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y-1\right)=12$

Do $\left(x-y-1\right)+\left(x+y-1\right)=2x-2$ chẵn nên $x-y-1$ và $x+y-1$ có cùng tính chẵn lẻ

$\Rightarrow$ Chỉ cần xét các cặp ước có cùng tính chẵn lẻ của 12 là $\left(2;6\right);\left(6;2\right)$

TH1: $\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=2\x+y-1=6\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow...$

TH2: $\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=2\x+y-1=6\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow...$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

c/ $\Leftrightarrow x^2-\left(3y+1\right)x+2y^2-y+3=0$ (1)

$\Delta=\left(3y+1\right)^2-4\left(2y^2-y+3\right)=y^2+10y-11$

Không kẹp được miền giá trị của y nên biện luận: để pt có nghiệm nguyên $\Rightarrow\Delta$ là số chính phương

Đặt $y^2+10y-11=k^2$ với $k\in N$

$\Rightarrow y^2+10y+25-k^2=36$

$\Leftrightarrow\left(y+5\right)^2-k^2=36$

$\Leftrightarrow\left(y-k+5\right)\left(y+k+5\right)=36$

Tương tự câu b, ta chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 36 là $\left(2;18\right);\left(6;6\right);\left(18;2\right)$

$\left\{{}\begin{matrix}y-k+5=2\y+k+5=18\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow y=...$ thay vào (1) $\Rightarrow x=...$

$\left\{{}\begin{matrix}y-k+5=6\y+k+5=6\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow...$

$\left\{{}\begin{matrix}y-k+5=18\y+k+5=2\end{matrix}\right.$ ra y giống TH1 ko cần xét

Bài 2:

Do $\sqrt{x^2+2x+4}>0\Rightarrow y>0$

Bình phương 2 vế:

$y^2=x^2+2x+4$

$\Leftrightarrow y^2-\left(x+1\right)^2=3$

$\Leftrightarrow\left(y-x-1\right)\left(y+x+1\right)=3$

Các cặp ước $\left(-3;-1\right);\left(-1;-3\right);\left(1;3\right);\left(3;1\right)$

Bạn tự xét 4 trường hợpCâu trả lời: c/ $\Leftrightarrow x^2-\left(3y+1\right)x+2y^2-y+3=0$ (1)