Question

Bài 1: Tìm m để bpt x² + 2(m-2)x +m>0 có nghiem đúng với mọi x>2

Bài 2: Cho phương trình x² - 4x + m² = 0 tìm điều kiện m để pt có 2 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm lớn hơn 3

mong các anh chị các bác chỉ dạy cho ạ

Answer 1

Câu 1:

Có:

\(x^2+2(m-2)x+m>0\) \(\forall x>2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2mx+m>0\) \(\forall x>2\)

\(\Leftrightarrow (x^2-4x)+m(2x+1)>0\) \(\forall x>2\)

\(\Leftrightarrow m> \frac{4x-x^2}{2x+1}\) \(\forall x>2\)

\(\Leftrightarrow m> \max(\frac{4x-x^2}{2x+1})\) với \(x>2\) \((*)\)

\(f(x)=\frac{4x-x^2}{2x+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{-2(x^2+x-2)}{(2x+1)^2}\)

Lập bảng biến thiên suy ra \(f(x)=\frac{4x-x^2}{2x+1}< f(2)=\frac{4}{5}\)

\(\Leftrightarrow f(x)_{\max}< \frac{4}{5}\)

Do đó để $(*)$ thỏa mãn thì \(m\geq \frac{4}{5}\)

Answer 2

Câu 2:

Để PT có hai nghiệm pb \(\Rightarrow \Delta'=4-m^2>0\Leftrightarrow -2< m< 2(1)\)

Khi đó áp dụng hệ thức Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt đã cho:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4\\ x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)

Khi PT chỉ có một nghiệm lớn hơn $3$ thì có nghĩa nghiệm còn lại phải nhỏ hơn $3$

\(\Rightarrow (x_1-3)(x_2-3)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-3(x_1+x_2)+9< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-12+9< 0\Leftrightarrow m^2<3\Leftrightarrow -\sqrt{3}< m< \sqrt{3}(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow -\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)