Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Yukru

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

( x2 + y2 + z2 )( x + y + z )2 + ( xy + yz + zx )2

Bài 2:

a) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a - b = c + d. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của ba số chính phương

b) Cho a, b, c, d là các số nguyên hỏa mãn a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng ( ab - cd )( bc - ad )( ca - bd ) là số chính phương

Bài 3:

Tìm số tự nhiên x sao cho x2 + 2x + 200 là số chính phương

Thiên Hàn
27 tháng 8 2018 lúc 19:26

Bài 1:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\right]+\left(xy+yz+zx\right)^2\)

Đặt x2 + y2 + z2 = a và xy + yz + zx = b, ta được:

\(a\left(a+2b\right)+b^2\)

\(=a^2+2ab+b^2\)

\(=\left(a+b\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^2\)

Bài 2:

a) Ta có:

\(a-b=c+d\)

\(\Rightarrow a-b-c-d=0\)

\(\Rightarrow2a\left(a-b-c-d\right)=0\)

\(\Rightarrow2a^2-2ab-2ac-2ad=0\)

Do đó:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2a^2-2ab-2ac-2ad\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2\)

Vậy a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương với a, b, c, d là số nguyên thỏa mãn a - b = c + d

b) Ta có:

\(a+b+c+d=0\)

\(\Rightarrow a+b+c=-d\)

\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)=-da\)

\(\Rightarrow a^2+ab+ac=-da\)

\(\Rightarrow bc-da=bc+a^2+ab+ac\)

\(\Rightarrow bc-da=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow bc-da=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(1\right)\)

Ta có:

\(a+b+c=-d\)

\(\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=-cd\)

\(\Rightarrow ac+bc+c^2=-cd\)

\(\Rightarrow ab-cd=ab+ac+bc+c^2\)

\(\Rightarrow ab-cd=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow ab-cd=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(2\right)\)

Ta có:

\(a+b+c=-d\)

\(\Rightarrow b\left(a+b+c\right)=-db\)

\(\Rightarrow ab+b^2+bc=-db\)

\(\Rightarrow ca-db=ca+ab+b^2+bc\)

\(\Rightarrow ca-db=a\left(c+b\right)+b\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow ca-db=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(3\right)\)

Thay (1), (2) và (3) vào biểu thức \(\left(ab-cd\right)\left(bc-da\right)\left(ca-db\right)\) ta được:

\(\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+c\right)^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\)

\(=\left[\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]^2\)

Vậy \(\left(ab-cd\right)\left(bc-da\right)\left(ca-db\right)\) là số chính phương với a, b, c, d là số nguyên thỏa mãn a + b + c + d = 0

Bài 3:

Đặt \(a^2=x^2+2x+200\left(a\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2=\left(x+1\right)^2+199\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x+1\right)^2=199\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x-1\right)\left(a+x+1\right)=1.199\)

Vì a - x - 1 < a + x + 1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-x-1=1\\a+x+1=199\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x=196\)

\(\Rightarrow x=98\)


Các câu hỏi tương tự
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hiyashi Yuuki
Xem chi tiết
チュオン コンダ ンダ
Xem chi tiết
Lê Bảo Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Quang Đức
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết