Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, (AB < AC). D, E là các điểm thuộc AC, BC sao cho DE vuông góc với BC và DE=EB
a) Kẻ EH vuông góc với AB, EK vuông góc với AC. Chứng minh rằng tam giác EKD = tam giác DHB
b) Chứng minh AE là tia p/g \(\widehat{BAC}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Kẻ BH vuông góc với AD (H thuộc AE). Chứng minh rằng:
a) BH = CK
b) Tam giác AHB = tam giác AKC
c) BC // HK
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 7. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC vuông
b) \(\widehat{AMB}\) = 2\(\widehat{C}\)
Bài 2 :
a) Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có:
\(BD=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{ACE}=\widehat{ABD}\) (vì cùng bù \(\widehat{ABC}\&\widehat{ACB}\))
\(AB=AC\) (tam giác ABC cân)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (c.g.c)
=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta HDB;\Delta KCE\) có:
\(\widehat{DHB}=\widehat{CKE}\left(=90^o\right)\)
\(DB=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) ( do \(\widehat{ADB}=\widehat{ACE}\)- cmt)
=> \(\Delta HDB=\Delta KCE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta AHB;\Delta ACK\) có :
\(BH=CK\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AHB}=\widehat{ACK}\left(=90^o\right)\)
\(AB=AC\left(gt\right)\)
=> \(\Delta AHB=\Delta ACK\) (2 cạnh góc vuông)
c) Xét \(\Delta AHK\) có :
\(AH=AK\) (từ \(\Delta AHB=\Delta ACK\) - câu b)
=> \(\Delta AHK\) cân tại A
Ta có : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ADE\) có :
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (cmt)
=> \(\Delta ADE\) cân tại A
Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> \(\text{DE // HK}\)
Có : \(\left\{{}\begin{matrix}B\in DE\\C\in DE\end{matrix}\right.\) (gt)
=> \(\text{BC // HK(đpcm)}\)
