Bài 1:
a. Vì BD là phân giác góc B, áp dụng t/c đường phân giác trong Δ ta có:
AD/DC = AB/BC
Vì AB = 15cm (gt)
BC = 10cm (gt)
=> AB/BC = 15/10 = 3/2
=> AD/DC = 3/2 (1)
Mà AD + DC = AC
AC = AB = 15cm
=> AD + DC = 15cm (2)
Từ (1) và (2) => AD = 9cm
DC = 6cm
b. Ta có: Δ EBC vuông tại B
Mặt khác: AB = AC
=> BA là trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ vuông EBC
=> AB = AC = AE
=> AE = 15cm
=> EC = AE + AC = 15 + 15 = 30cm
Bài 1:
a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC=AB=15$ (cm)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow \frac{AD}{DC+AD}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow AD=\frac{3}{5}.AC=\frac{3}{5}.15=9\) (cm)
\(DC=AC-AD=15-9=6\) (cm)
b) Vì $BD$ là phân giác trong của góc \(\widehat{B}\); \(BD\perp BE\) nên $BE$ là tia phân giác ngoài góc $B$. Theo tính chất đường phân giác:
\(\frac{CE}{EA}=\frac{BC}{AB}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{CE}{CE+AC}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{CE}{CE+15}=\frac{2}{3}\Rightarrow CE=30\) (cm)
Bài 2:
a)
Gọi $T$ là trung điểm của $BO$. Theo tính chất hình vuông \(OB=OD\)
Xét tam giác $ABO$ có $M$ là trung điểm của $AB$; $T$ là trung điểm $BO$ nên $MT$ là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh $AO$
\(\Rightarrow MT\parallel AO\parallel IO\)
Xét tam giác $MDT$ có $MT\parallel IO$ nên áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\frac{DI}{MI}=\frac{DO}{OT}=\frac{OB}{OT}=2\Rightarrow DI=2MI\) (đpcm)
b) Áp dụng định lý Pitago: \(AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=4\sqrt{2}\)
Vì $MT$ là đường trung bình của tam giác $ABO$ ứng với cạnh $AO$ nên: \(MT=\frac{1}{2}AO=2\sqrt{2}\)
Áp dụng đl Ta-let khi $IO\parallel MT$ : \(\frac{OI}{MT}=\frac{DO}{DT}=\frac{DO}{DO+OT}=\frac{DO}{DO+\frac{DO}{2}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow OI=\frac{2}{3}MT=\frac{2}{3}.2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\) (cm)
