bài 1: Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a\(^2\) và (a+1)\(^2\)( vs a\(\in\) N )
CM :S=a\(^2\) +(a+1)\(^2\)+a\(^2\).(a+1)\(^2\) là số chính phương
Thật vậy : S= a\(^2\) +(a+1)\(^2\)+a\(^2\).(a+2a+1)
= a\(^2\)+a\(^2\)+2a+1+a\(^4\)+2a\(^3\)+a\(^2\)
= (a\(^2\))\(^2\)+a\(^2\)+1\(^2\)+2.a\(^2\).a+a+2a\(^2\).1+2a.1
= (a\(^2\)+a+1)\(^2\) là số chính phương (đpcm)
bài 2:
a\(_n\)=1+23+..+n =\(\frac{\left(1+n\right).n}{2}\)=\(\frac{n+n^2}{2}\)
a) a\(_n\)=1+2+3+..+n+(n+1)=\(\frac{\left(1+n+1\right).\left(n+1\right)}{2}\)
= \(\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2}\)=\(\frac{n^2+n+2n+2}{2}\)=\(\frac{n^2+3n+2}{2}\)
b) S= a\(_n\)+a\(_{n+1}\)= \(\frac{n+n^2+n^2+3n+2}{2}\)
=\(\frac{2n^2+4n+2}{2}\)=\(\frac{2\left(n^2+2n+1\right)}{2}\)
= (n+1)\(^2\) là số chính phương