Lời giải:
Sắp xếp $1010$ số nguyên dương $a_i$ theo thứ tự tăng dần ta có:
\(1\leq a_1< a_2< a_3< ....< a_{1010}< 2019\)
Xét thêm $1009$ số $b_j$, được xác định bởi:
\(b_1=a_2-a_1, b_2=a_3-a_1;....; b_{1009}=a_{1010}-a_1\). Ta cũng có:
\(1\leq b_1< b_2< b_3< ....< b_{1009}< 2019\)
Giả sử tập \(\left\{a_1,a_2,...,a_{1010}\right\}\) với tập \(\left\{b_1,b_2,...,b_{1009}\right\}\) không có phần tử nào giống nhau. Khi đó \(\left\{a_1,a_2,...,a_{1010}, b_1,b_2,...,b_{1009}\right\}\) là tập gồm 2019 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn $2019$. Điều này hoàn toàn vô lý vì chỉ có nhiều nhất $2018$ số nguyên dương nhỏ hơn $2019$.
Do đó điều giả sử là sai, nghĩa là tồn tại một \(b_j(j=\overline{1,1009})=a_i(i=\overline{1,2,...,1010})\)
\(\Leftrightarrow a_{j+1}-a_1=a_i\)
\(\Leftrightarrow a_{j+1}=a_i+a_1\)
Ta có đpcm.
