Question

a)cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng \(n^3\) - n luôn chia hết cho 6.

b) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n + 2, n + 7 là hai số chính phương.

Answer 1

a/\(n^3-n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(1\right)\)

ta có : \(\left(1\right)⋮2,\left(1\right)⋮3\)( vì (1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

Mà 2,3 nguyên tố cùng nhau nên \(\left(1\right)⋮2.3=6\)

b/Theo đề, ta có: \(n+2=x^2\left(1\right)\)

\(n+7=y^2\left(2\right)\)

Lấy (2) trừ (1) đc: \(5=\left(y-x\right)\left(x+y\right)\)=1.5=5.1=-1.-5=-5.-1

Giải từng nghiệm đc (x,y)=(2,3),(-2,3),(2,-3),(-2,-3)

Suy ra n=0

Answer 2

a) Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số tự nhiên liên tiếp

nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)(1)

Vì n-1; n và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)(2)

mà UCLN(2;3)=1(3)

nên từ (1); (2) và (3) suy ra \(n^3-n⋮6\forall n\)