a) Giải phương trình \(\dfrac{1}{x^2+5x+4}+\dfrac{1}{x^2+11x+28}+\dfrac{1}{x^2+17x+70}=\dfrac{3}{4x-2}\)
b) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 ddowwn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương
a) \(\dfrac{1}{x^2+5x+4}+\dfrac{1}{x^2+11x+28}+\dfrac{1}{x^2+17x+20}=\dfrac{3}{4x-2}\) \(\left(x\ne-1;-4;-7;-10;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\dfrac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}+\dfrac{3}{\left(x+7\right)\left(x+10\right)}=\dfrac{9}{4x-2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{9}{4x-2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=-4\end{matrix}\right.\)
Mà \(x\ne-4\Rightarrow x=-3\)
Vậy \(S=\left\{-3\right\}\)
b) Gọi số chính phương cần tìm đó là \(\overline{abcd}\) ( \(a,b,c,d\in N\) , \(a\ne0\))
Đặt \(\overline{abcd}=k^2\) \(\left(k\in N,31< k< 100\right)\)
=> Sau khi thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vì vào chữ số hàng đơn vị thì ta được số \(\overline{\left(a+1\right)\left(b+3\right)\left(c+5\right)\left(d+3\right)}\)
Đặt \(\overline{\left(a+1\right)\left(b+3\right)\left(c+5\right)\left(d+3\right)=m^2}\) \(\left(m\in N,31< m< 100\right)\)
Ta có \(m^2-k^2=1353\Leftrightarrow\left(m+k\right)\left(m-k\right)=1353\)
=> \(\left(m+k\right),\left(m-k\right)\inƯ\left(1353\right)=\left\{1;1353;33;41;123;11;451;3\right\}\)
Mà \(m,k\in N;31< m,k< 100\)
=> 64 < m + k < 200
=> m + k = 123
=> m - k = 11
Ta có : m + k + m - k = 123 + 11 <=> m = 67
=> k = 56 ( TM ) => \(k^2=3136\)
Vậy số chính phương cần tìm là 3136
