Lời giải:
a)
Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $p$ không chia hết cho $3$
Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$
+)\(p=3k+1\Rightarrow p^2+2012=(3k+1)^2+2012=9k^2+6k+2013\)
Thấy rằng \(9;6;2013\vdots 3\Rightarrow p^2+2012\vdots 3\), mà nó lớn hơn $3$ nên là hợp số
+) \(p=3k+2\Rightarrow p^2+2012=(3k+2)^2+2012\)
\(=9k^2+12k+2016\)
Thấy rằng \(9;12;2016\vdots 3\Rightarrow p^2+2012\vdots 3\), mà nó lớn hơn $3$ nên là hợp số.
Từ hai TH trên ta có đpcm
b)
Đặt \(n+4=a^2\). Vì \(n\) là số tự nhiên có hai chữ số nên
\(10\leq n\leq 99\Rightarrow 14\leq a^2\leq 103\)
\(\Leftrightarrow 4\leq a\leq 10\)
Thấy $2n$ là một số chính phương chẵn, do đó nó phải chia hết cho $4$, kéo theo $n$ chia hết cho $2$
\(\Rightarrow n+4\) chẵn \(\Rightarrow a\) chẵn.
Do đó, \(a\in\left\{4;6;8;10\right\}\)
+) \(a=4\Rightarrow n=a^2-4=12\Rightarrow 2n=24\not\in scp\)
+) \(a=6\Rightarrow n=a^2-4=32\Rightarrow 2n=64\in scp\) (thỏa mãn)
+) \(a=8\Rightarrow n=a^2-4=60\Rightarrow 2n=120\not\in scp\)
+) \(a=10\Rightarrow n=a^2-4=96\Rightarrow 2n=192\not\in scp\)
Vậy \(n=32\)
