Question

a , cho a,b là 2 số thực dương tùy ý . Cmr \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

b. Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn : x+y+z=1

Tìm giá trị lón nhất của biểu thức : P=\(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

Answer 1

b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ta có:

\(\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\dfrac{y}{y+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}\right);\dfrac{z}{z+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

a, Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\)

Dấu " = " khi a = b = 1

Vậy...