ĐKXĐ: \(x\geq 1\).
Ta có: \(3\left(x^2-x+1\right) = \left(x + \sqrt{x-1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow 3\left(x^2-x+1\right)=x^2+x-1 + 2x\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+4=2x\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+2 = x\sqrt{x-1}\text{ (1)}\).
Đặt \(a=\sqrt{x-1}\geq 0\) thì \(x^2-2x+2 = (x-1)^2 + 1 = a^4+1\). \((1)\) tương đương với:
\(a^4+1=a\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left(a^3-1\right)(a-1)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a^3=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x=2\). (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
