2. cho góc xOy, gọi Oz là tia phân giác của xOy. Trên tia Ox hãy lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA=OB. Lấy I trên tia Oz, I khác O và A,I,B thẳng hàng . Đường thẳng AB cắt Oz tại H
a, chứng minh ΔOAI= ΔOIB
b chứng minh H là trung điểm của AB và OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB
a) Vì \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\left(gt\right)\)
Mà \(I\in Oz\left(gt\right)\)
=> \(OI\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}.\)
Hay \(OI\) là tia phân giác của \(\widehat{AOB}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(OAI\) và \(OBI\) có:
\(OA=OB\left(gt\right)\)
\(\widehat{AOI}=\widehat{BOI}\) (vì \(OI\) là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\))
Cạnh OI chung
=> \(\Delta OAI=\Delta OBI\left(c-g-c\right).\)
b) Ta có \(\widehat{AOI}=\widehat{BOI}\) (vì \(OI\) là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\))
=> \(\widehat{AOH}=\widehat{BOH}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(OAH\) và \(OBH\) có:
\(OA=OB\left(gt\right)\)
\(\widehat{AOH}=\widehat{BOH}\left(cmt\right)\)
Cạnh OH chung
=> \(\Delta OAH=\Delta OBH\left(c-g-c\right)\)
=> \(AH=BH\) (2 cạnh tương ứng).
=> H là trung điểm của \(AB.\)
Theo câu a) ta có \(\Delta OAI=\Delta OBI.\)
=> \(\widehat{AIO}=\widehat{BIO}\) (2 góc tương ứng).
Lại có: \(\widehat{AIO}+\widehat{BIO}=180^0\) (vì 2 góc kề bù).
Mà \(\widehat{AIO}=\widehat{BIO}\left(cmt\right)\)
=> \(2.\widehat{AIO}=180^0\)
=> \(\widehat{AIO}=180^0:2\)
=> \(\widehat{AIO}=90^0.\)
=> \(\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=90^0\)
=> \(OI\perp AB.\)
Xét \(\Delta OAB\) có:
\(OA=OB\left(gt\right)\)
=> \(\Delta OAB\) cân tại O.
Có \(OI\) là đường cao (vì \(OI\perp AB\)).
=> \(OI\) đồng thời là đường trung trực của \(\Delta OAB.\)
=> \(OI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
