Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Kudo Shinichi

1, Tìm x; y; z \(\in N\)* thỏa mãn: \(\dfrac{x+y.\sqrt{2017}}{y+z.\sqrt{2017}}\in Q\) và:

a) \(x^2+y^2+z^2\) là một số nguyên tố

b) \(x^2-2y^2+z^2=36\)

2, Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(D\in AB;E\in AC\) thỏa mãn: BC = BD + CI

Tìm vị trí của D và E để DI nhỏ nhất

Akai Haruma
4 tháng 12 2017 lúc 22:12

Lời giải:

Để \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \exists a,b\in\mathbb{N}^*, (a,b)=1\) sao cho :

\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2017}=ay+az\sqrt{2017}\)

\(\Leftrightarrow (bx-ay)=\sqrt{2017}(az-by)\)

Vì \(a,b,x,y\in\mathbb{N}^*; \sqrt{2017}\not\in\mathbb{Q}\rightarrow \) để đẳng thức trên xảy ra thì:

\(bx-ay=az-by=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\ \frac{a}{b}=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow y^2=xz\)

a) Gọi d là ước chung lớn nhất của x và z. Khi đó đặt:

\(\left\{\begin{matrix} x=x_1d\\ z=z_1d\end{matrix}\right.(x_1,z_1\in\mathbb{N}^*; (x_1,z_1)=1)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x_1^2d^2+d^2x_1z_1+z_1^2d^2\)

\(=d^2(x_1^2+x_1z_1+z_1^2)\)

Vì \(x_1,z_1\in\mathbb{N}^*\Rightarrow x_1^2+x_1z_1+z_1^2>1\)

Do đó để \(x^2+y^2+z^2\in\mathbb{P}\Rightarrow d=1\)

Ta thấy \(y^2=xz; (x,z)=1\Rightarrow \exists m,n\in\mathbb{Z}\) sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} x=m^2\\ z=n^2\end{matrix}\right.\Rightarrow y=mn\)

Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=m^4+m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2-m^2n^2\)

\(=(m^2+n^2-mn)(m^2+n^2+mn)\)

Để tích trên là số nguyên tố thì buộc một trong hai thừa số phải bằng 1

Dễ thấy \(m^2+n^2-mn< m^2+n^2+mn\Rightarrow m^2+n^2-mn=1\)

\(\Leftrightarrow (m-n)^2+mn=1\Leftrightarrow mn=1-(m-n)^2\leq 1\)

Mà \(mn=y\geq 1\)

Do đó \(mn=1\) hay \(y=1\)

Mặt khác \(mn=1; m,n\in\mathbb{Z}\Rightarrow (m,n)=(1,1); (-1;-1)\)

Cả hai đều thu được \(x=z=1\)

Vậy \((x,y,z)=(1,1,1)\)

b)

Vì \(xz=y^2\Rightarrow x^2-2y^2+z^2=36\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xz+z^2=36\)

\(\Leftrightarrow (x-z)^2=36\Leftrightarrow x-z=\pm 6\)

TH1: \(x-z=6\Rightarrow x=z+6\)

Khi đó: \(y^2=xz=z(6+z)=z^2+6z\)

\(\Leftrightarrow y^2+9=(z+3)^2\)

\(\Leftrightarrow (z+3-y)(z+3+y)=9\)

Do \(z+3+y>0; z+3+y> z+3-y\) nên:\((z+3-y,z+3+y)=(1;9)\)

Từ đây ta thu được: \(z=2;y=4\rightarrow x=8\)

Ta có bộ \((x,y,z)=(8;4;2)\)

TH2: \(x-z=-6\). Tương tự như trên ta thu được \((x,y,z)=(2;4;8)\)

Kudo Shinichi
4 tháng 12 2017 lúc 19:57

ở bài 2 I là E hết nhé:

2, Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(D\in AB;E\in AC\) thỏa mãn: BC = BD + CE

Tìm vị trí của D và E để DE nhỏ nhất


Các câu hỏi tương tự
Kudo Shinichi
Xem chi tiết
Trần Quỳnh Như
Xem chi tiết
WW
Xem chi tiết
Tuan Dang
Xem chi tiết
Bất
Xem chi tiết
Trần Quỳnh Như
Xem chi tiết
Nguyễn Đăng Khoa
Xem chi tiết
Vũ Thị Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Trần Minh Hưng
Xem chi tiết