Bài 3: mk làm theo cách này: từ A = 8k(k2+503)
Ta có: \(k\left(k^2+503\right)=k\left(k^2+5+6.83\right)\)
\(=k\left(k^2-1+6\right)+6.83k\)
\(=k\left(k^2-1\right)+6k+6.83k\)
\(=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+6\left(k+83k\right)\)
Vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) gồm tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2.Mà (3,2)=1 nên \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) \(⋮2.3=6\). Do đó : \(k\left(k^2+503\right)\) \(⋮\) 6
Vậy A \(⋮\) 8.6=48
1) Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=a\\x+2=b\end{matrix}\right.\) ta có: \(pt\Leftrightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\(\Rightarrow3a^2b+3ab^2=0\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3ab=0\Leftrightarrow ab=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\)
Khi \(ab=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Khi \(a+b=0\Leftrightarrow x-3+x+2=0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{3;-2;\dfrac{1}{2}\right\}\)
Bài 1:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-3=a\\ x+2=b\end{matrix}\right.\). PT trở thành:
\(a^3+b^3=(a+b)^3\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^3\)
\(\Leftrightarrow (a+b)[(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)]=0\)
\(\Leftrightarrow 3ab(a+b)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=0\\ b=0\\ a+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-3=0\\ x+2=0\\ 2x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=3\\ x=-2\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
Gọi \(\text{BS2010}\) là bội số của $2010$
Ta có: \(2009^{2008}+2011^{2010}=(2010-1)^{2008}+(2010+1)^{2010}\)
Vì $2008$ chẵn nên: \((2010-1)^{2008}=\text{BS2010}+1\)
\((2010+1)^{2010}=\text{BS2010}+1\)
Do đó:
\(2009^{2008}+2011^{2010}=\text{BS2010}+1+\text{BS2010}+1=\text{BS2010}+2\)
Tức là \(2009^{2008}+2011^{2010}\) không chia hết 2010 (chia 2010 dư 2)
Đề bài sai.
Nếu bạn thay $2008$ thành số lẻ thì bài toán sẽ đúng
Bài 3:
Đặt \(A=n^3+2012n\). Vì $n$ chẵn nên đặt \(n=2k(k\in\mathbb{Z}\) )
Khi đó:
\(A=(2k)^3+2012.2k=8(k^3+503k)=8k(k^2+503)\)
Nếu $k$ chẵn thì \(8k\vdots 16\Rightarrow A\vdots 16\)
Nếu $k$ lẻ thì \(k^2+503\) chẵn, do đó \(8(k^2+503)\vdots 16\Rightarrow A\vdots 16\)
Vậy $A$ luôn chia hết cho $16$ $(1)$
Mặt khác:
Nếu $k$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $A$ chia hết cho $3$
Nếu $k$ không chia hết cho $3$. Ta biết một số chính phương chia $3$ dư $0,1$. Mà $k$ không chia hết cho $3$ nên $k^2$ chia $3$ dư $1$
\(\Rightarrow k^2+503=3t+1+503=3t+504=3(t+168)\vdots 3\)
\(\Rightarrow A=8k(k^2+503)\vdots 3\)
Tóm lại $A$ luôn chia hết cho $3(2)$
Từ \((1);(2)\) và $(16,3)$ nguyên tố cùng nhau nên \(A\vdots (16.3=48)\)
Ta có đpcm.
