Question

1. cho x,y\(\ge\)0 và x² + y² + xy = 3 .tìm min, max của T = x³ + y³ - x² - y²

2. tìm min, max của y = sin^px\(\times\)cos^qx, x \(\in\) (0;\(\dfrac{\pi}{2}\) ) ; p,q \(\in\) N*

Answer 1

Bài 1:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+y=a\\ xy=b\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2+xy=a^2-b=3\)

Vì \(x,y\geq 0\rightarrow b\geq 0\rightarrow a^2=3+b\geq 3\)

Biến đổi:

\(T=(x+y)^3-3xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]\)

\(\Leftrightarrow T=a^3-3ab-a^2+2b\)

\(\Leftrightarrow T=a^3-3a(a^2-3)-a^2+2(a^2-3)=-2a^3+a^2+9a-6\)

Xét đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm trên với điều kiện \(a\geq \sqrt{3}\) ta thu được \(T_{\max}=3\sqrt{3}-3\Leftrightarrow a=\sqrt{3}\Leftrightarrow (x,y)=(\sqrt{3},0)\)

Hàm không có min.