Question

1/ Cho \(n\) lẻ và \((n,3)=1\). chứng minh \(n^4-1 \ \vdots \ 48\)
2/ Cho n lẻ và (n,5)=1. chứng minh \( n^4-1 \ \vdots \ 80\)
3/ cmr: \(n^6+n^4-2n^2\) chia hết cho 72
4/ cm : \(n^8-n^4\) chia hết cho 240

Answer 1

1/ \(A=n^4-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì \(\left(n,3\right)=1\) nên \(n⋮̸3\) nên n chia 3 dư 1 hoặc dư 2

- Nếu n chia 3 dư 1 thì \(\left(n-1\right)⋮3\Rightarrow A⋮3\)

- Nếu n chia 3 dư 2 thì \(\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow A⋮3\)

Như vậy \(A⋮3\)

Lại có n lẻ nên n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮8\) (1)

Mặt khác n lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+1\right)⋮2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\right]⋮16\)

Hay \(A⋮16\)

Ta có \(A⋮3;A⋮16\), mà (3;16) = 1 nên \(A⋮48\)

2/ \(B=n^4-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

- Chứng minh \(B⋮16\) tương tự như ở câu 1

- Ta sẽ đi chứng minh \(B⋮5\)

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì \(\left(n-1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì \(\left(n+1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)

+ Nếu n chia 5 dư 2 hoặc dư 3 thì \(\left(n^2+1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Do đó \(B⋮5\)

Kết hợp với \(B⋮16\) ở trên suy ra \(B⋮80\)

Answer 2

4. \(D=n^8-n^4=n^4\left(n^4-1\right)=n^3\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

- Dễ thấy n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên \(D⋮3\)

- Chứng minh \(D⋮5\)

+ Nếu \(n⋮5\) thì \(D⋮5\)

+ Nếu n chia 5 dư 1;2;3;4 thì ... (tương tự câu 2)

- Chứng minh \(D⋮16\)

+ Nếu n chẵn thì \(n^4⋮16\Rightarrow D⋮16\)

+ Nếu n lẻ, cmtt câu 1

Ta có (16;3;5) = 1 nên \(D⋮\left(16.3.5\right)=240\)

3. \(C=n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4+n^2-2\right)\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)=n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+2\right)\)

- Chứng minh \(C⋮8\)

+ Nếu n chẵn thì \(n^2⋮4\) và \(\left(n^2+2\right)⋮2\) \(\Rightarrow\left[n^2\left(n+2\right)\right]⋮8\) nên \(C⋮8\)

+ Nếu n lẻ thì n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮8\Rightarrow C⋮8\)

- Chứng minh \(C⋮9\)

+ Dễ thấy \(\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮3\) (1)

+ Ta sẽ chứng minh \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)

Nếu \(n⋮3\) thì \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)

Nếu n chia 3 dư 1 hoặc 2 thì \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)

Vậy \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3,\forall n\in Z\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right].\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮\left(3.3\right)=9\)

Hay \(C⋮9\)

Ta có \(C⋮8\) và \(C⋮9\), mà (8;9) = 1 nên \(C⋮72\)