Question

1. Cho các số tự nhiên a,b thỏa mãn: \(2a^2+a=3b^2+b\)

CMR: a-b và 3a+3b+1 là các số chính phương

2. Tìm x biết:

\(\left(x^2+x=2\right)^2-\left(x+1\right)^3=x^6+1\)

3. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn: xy+yz+zx=1 . Tìm GTNN của:

P=\(\dfrac{1}{4x^2+yz+2}+\dfrac{1}{4y^2+xz+2}+\dfrac{1}{4z^2+xy+2}\)

Answer 1

câu 2 : ta có : \(\left(x^2+x+2\right)^2-\left(x+1\right)^3=x^6+1\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(x+1\right)^3=\left(x^2+x+2\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^4-x^3+2x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^4-x^3-x^2+x-2\right)=0\)

ta có : \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow x^4-x^3-x^2+x-2=0\)

giờ dùng pp đại số chuyển nó thành tích rồi giải bt

Answer 2

Bài 3 : Ta có BĐT : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1\)

Theo BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :

\(P=\dfrac{1}{4x^2+yz+2}+\dfrac{1}{4y^2+xz+2}+\dfrac{1}{4z^2+xy+2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(xy+yz+zx\right)+6}=\dfrac{9}{4+1+6}=\dfrac{9}{11}\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{9}{11}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)