Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lệ Ngân

1) Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6
CMR: a2+b2+c2 >=3
2) Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y<=1
Tìm GTNN của \(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{4}{xy}+2xy\)

Ngô Tấn Đạt
5 tháng 6 2018 lúc 10:00

câu 1:

\(a^2+1\ge2a\\ b^2+1\ge2b\\ c^2+1\ge2c\\ a^2+b^2\ge2ab\\ b^2+c^2\ge2bc\\ a^2+c^2\ge2ac\\ \Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ac\right)=2.6=12\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Tùng Trần Sơn
6 tháng 6 2018 lúc 20:59

Câu 2)
\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{4}{xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{8xy}+\dfrac{29}{8xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{8xy}+2xy\right)+\dfrac{29}{8xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) và bất đẳng thức Cô-si, ta được:

\(P\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+2\sqrt{\dfrac{1}{8xy}.2xy}+\dfrac{29}{2\left(x+y\right)^2}\)

\(x+y\le1\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.4+2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{29}{2}=\dfrac{35}{2}\)

Vậy GTNN của P = \(\dfrac{35}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}.\)

Chúc bạn học tốt!


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
hoàng minh chính
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết