Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hiếu Cao Huy

1) cho 3 số nghuyên dương x,y,z thỏa:x+y+z=3

khi \(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) đạt gtrị nhỏ nhất thì (x;y;z)=(...;...;...)

2) biết \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\) tìm gtrị nhỏ nhất của tích xy

3)cho 2 số a,b thỏa:\(a^2+b^2=4a+2b+540\) tính gtrị lớn nhất của \(P=23a+4b+2013\)

help me !!!! mình cần gấpkhocroi

Lightning Farron
11 tháng 4 2017 lúc 22:05

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xz+yz}=\dfrac{4}{xz+yz}\)

Từ \(x+y+z=3\Rightarrow x+y=3-z\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{xz+yz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{z\left(3-z\right)}=\dfrac{4}{-z^2+3z}\)

Lại có: \(-z^2+3z=\dfrac{9}{4}-\left(z-\dfrac{3}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{-z^2+3z}\ge\dfrac{4}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{16}{9}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{4};z=\dfrac{3}{2}\)

Bài 2:

Từ \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-4\right)+4=xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4\ge xy\)

Dễ thấy: \(VT\ge4\forall x;y\)\(\Rightarrow VP\ge4\forall x;y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}\right);\left(-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\)

Bài 3:

Từ \(a^2+b^2=4a+2b+540\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-2b+1\right)=545\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=545\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left (P-2063 \right )^2=\left [23(a-2)+4(b-1) \right ]^2\)

\(\leq (23^2+4^2)\left [ (a-2)^2+(b-1)^2 \right ]\)

\(\Rightarrow P\le545+2063=2608\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=25;b=5\)


Các câu hỏi tương tự
Tuan Minh Do Xuan
Xem chi tiết
Ngọc Sunny
Xem chi tiết
Lê Thị Ánh Tuyết
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Vân
Xem chi tiết
Tuan Minh Do Xuan
Xem chi tiết
tinmi123
Xem chi tiết
nguyễn bảo anh
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Thu Hà
Xem chi tiết