Lời giải:
a) Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0$
$\widehat{B}$ chung
$\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow BA^2=BH.BC$
b)
$BC=BH+HC=9+16=25$ (cm)
$AB^2=BH.BC=9.25\Rightarrow AB=15$ (cm)
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$ (cm)
$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12$ (cm)
c)
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$
$\Rightarrow \frac{DA}{AC}=\frac{3}{8}$
$\Rightarrow DA=20.\frac{3}{8}=7,5$ (cm)
$DC=AC-AD=20-7,5=12,5$ (cm)
d)
Lấy $T$ là giao điểm $KC$ và $AB$
Xét tam giác $BKT$ và $CAT$, dễ thấy 2 tam giác vuông này đồng dạng theo TH g.g
$\Rightarrow \frac{BT}{KT}=\frac{CT}{AT}$
$\Rightarrow \triangle KTA\sim \triangle BTC$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AKT}=\widehat{CBT}$ hay $\widehat{AKC}=\widehat{ABC}$
Xét tam giác $BAK$ và $BMA$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BKA}=90^0+\widehat{AKC}=90^0+\widehat{ABC}=90^0+90^0-\widehat{BAH}=180^0-\widehat{BAH}=\widehat{BAM}$
$\Rightarrow \triangle BAK\sim \triangle BMA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{BA}{BM}=\frac{BK}{BA}$
$\Rightarrow AB^2=BM.BK$ hay $BE^2=BK.BM$
$\Rightarrow \triangle BEK\sim \triangle BME$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{BEM}=\widehat{BKE}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BEM$ vuông tại $E$
