Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, theo BĐT tam giác ta có:
\(a< b+c\Rightarrow2a< a+b+c=2\Rightarrow a< 1\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(b< 1;c< 1\)
Ta có đánh giá sau:
Với mọi \(0< a< 1\) thì: \(\dfrac{1}{\sqrt{2a^2+a+1}}< \dfrac{2-a}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{1}{2a^2+a+1}< \dfrac{\left(2-a\right)^2}{4}\Leftrightarrow\dfrac{a\left(1-a\right)\left(5-2a\right)}{4\left(2a^2+a+1\right)}>0\) (luôn đúng với \(0< a< 1\))
Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+b+1}}< \dfrac{2-b}{2}\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{2c^2+c+1}}< \dfrac{2-c}{2}\)
Cộng vế:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2a^2+a+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+b+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2c^2+c+1}}< \dfrac{6-\left(a+b+c\right)}{2}=2\) (đpcm)
