Gọi O là giao điểm của AC và BD
a: Diện tích tam giác AOB là:
\(S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin AOB=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác BOC là:
\(S_{BOC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin BOC\)
\(=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin\left(180^0-\alpha\right)=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác COD là:
\(S_{COD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin COD=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác AOD là:
\(S_{AOD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin AOD\)
\(=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin\left(180^0-\alpha\right)=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tứ giác ABCD là:
\(S_{ABCD}=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCD}+S_{ODA}\)
\(=\frac12\cdot\sin\alpha\left(OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot OA\right)\)
\(=\frac12\cdot\sin\alpha\cdot\left\lbrack OB\left(OA+OC\right)+OD\left(OA+OC\right)\right\rbrack\)
\(=\frac12\cdot\sin\alpha\cdot AC\cdot BD\)
Khi AC⊥BD thì α=90 độ
=>sinα=sin90=1
=>\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\)
