Ta có: \(\sin A=2\cdot\sin B=\frac12\)
=>\(\begin{cases}\sin A=\frac12\\ \sin B=\frac14\end{cases}\)
sin A=1/2
=>\(\left[\begin{array}{l}\hat{A}=30^0\\ \hat{A}=150^0\end{array}\right.\)
Vì sin A=1/2>0 và sin B=1/4>0 nên các góc A và B có thể là góc nhọn hoặc góc tù
mà trong tam giác, chỉ có tối đa 1 góc tù
nên ta sẽ xét các trường hợp sau:
TH1: \(\hat{A}=30^0\)
=>\(\hat{B}<180^0-30^0=150^0\)
mà sin B=1/4<1/2=sin30
nên \(\hat{B}<30^0\)
=>\(cosB=\sqrt{1-\sin^2B}=\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(cosA=cos30=\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\sin C=\sin\left\lbrack180^0-\left(A+B\right)\right\rbrack=\sin\left(A+B\right)\)
\(=\sin A\cdot cosB+\sin B\cdot cosA\)
\(=\frac12\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac14=\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{8}\)
\(S=2R^2\cdot\sin A\cdot\sin B\cdot\sin C\)
\(=2a^2\cdot\frac12\cdot\frac14\cdot\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{8}=a^2\cdot\frac14\cdot\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{8}=\frac{a^2\left(\sqrt{15}+\sqrt3\right)}{32}\)
TH2: \(\hat{A}=150^0\)
=>\(\sin A=\frac12;cosA=-\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\sin C=\sin\left\lbrack180^0-\left(A+B\right)\right\rbrack=\sin\left(A+B\right)\)
\(=\sin A\cdot cosB+\sin B\cdot cosA\)
\(=\frac12\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{-\sqrt3}{2}\cdot\frac14=\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{8}\)
\(S=2R^2\cdot\sin A\cdot\sin B\cdot\sin C\)
\(=2a^2\cdot\frac12\cdot\frac14\cdot\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{8}=a^2\cdot\frac14\cdot\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{8}=\frac{a^2\left(\sqrt{15}-\sqrt3\right)}{32}\)
