a: Gọi K là giao điểm của AG và BC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
AG cắt BC tại K
Do đó: K là trung điểm của CB
Xét ΔABC có
AK là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó; \(AG=\frac23AK\)
mà \(AM=MG=\frac12AG\)
nên \(AM=MG=GK=\frac13AK\)
\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AK}\)
\(=\overrightarrow{CA}+\frac13\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac56\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac56\cdot\overrightarrow{CA}-\frac16\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{CB}\)
\(=\frac46\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{CB}=\frac16\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}+\frac15\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac15\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=\frac45\cdot\overrightarrow{CA}+\frac15\cdot\overrightarrow{CB}=\frac15\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
b: \(\overrightarrow{CM}=\frac16\cdot\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{CN}=\frac15\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
DO đó: \(\overrightarrow{CM}=\frac56\cdot\overrightarrow{CN}\)
=>C,M,N thẳng hàng
