Question

Answer 1

Câu 5:

a: \(y=-\frac14x^4+2x^2+\frac94\)

=>y'=\(-\frac14\cdot4x^3+2\cdot2x=-x^3+4x\) =-x(x-2)(x+2)

Đặt y'=0

=>x(x-2)(x+2)=0

=>x∈{0;2;-2}

Bảng xét dấu:

Theo bảng xét dấu, ta có: f'(x)<0 khi -2<x<0 và x>2

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;0) và (2;+∞)

f'(x)>0 khi x<-2 hoặc 0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (0;2)

vẽ đồ thị:

c: Đặt y=0

=>\(-\frac14x^4+2x^2+\frac94=0\)

=>\(-x^4+8x^2+9=0\)

=>\(x^4-8x^2-9=0\)

=>\(\left(x^2-9\right)\left(x^2+1\right)=0\)

=>\(x^2-9=0\)

=>x=3 hoặc x=-3

TH1: x=3

\(f^{\prime}\left(3\right)=-3\left(3-2\right)\left(3+2\right)\)

=-3*1*5=-15

Phương trình tiếp tuyến tại x=3 là:

y-f(3)=f'(3)(x-3)

=>y-0=-15(x-3)

=>y=-15x+45

TH2: x=-3

\(f^{\prime}\left(-3\right)=-\left(-3\right)\cdot\left(-3-2\right)\left(-3+2\right)=3\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-1\right)=3\cdot5\cdot1=15\)

y-f(-3)=f'(-3)(x+3)

=>y=15(x+3)=15x+45

Câu 3:

a: \(y=-x^3+3x^2+1\)

=>f'(x)=\(-3x^2+3\cdot2x=-3x^2+6x\)

=-3x(x-2)

Đặt f'(x)<0

=>-3x(x-2)<0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (2;+∞) và (-∞;0)

Đặt f'(x)>0

=>-3x(x-2)>0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Vẽ đồ thị:

c: Đặt f'(x)=3

=>-3x(x-2)=3

=>-x(x-2)=1

=>\(x\left(x-2\right)=-1\)

=>\(x^2-2x+1=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2=0\)

=>x-1=0

=>x=1

\(f\left(1\right)=-1^3+3\cdot1^2+1=-1+3+1=3\)

Phương trình tiếp tuyến là:

y-f(1)=f'(1)(x-1)

=>y-3=3(x-1)=3x-3

=>y=3x