Lời giải:
a. Xét tam giác $HAB$ và $KCB$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CKB}=90^0$
$\widehat{HAB}=180^0-\widehat{DAB}=180^0-\widehat{DCB}=\widehat{KCB}$
$\Rightarrow \triangle HAB\sim \triangle KCB$ (g.g)
b.
Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:
$\frac{HB}{KB}=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{AD}$
$\widehat{HBK}=\widehat{HBA}+\widehat{ABC}+\widehat{CBK}$
$=90^0-\widehat{HAB}+\widehat{ABC}+90^0-\widehat{BCK}$
$=180^0-\widehat{HAB}+\widehat{ABC}-\widehat{BCK}$
$=180^0-\widehat{HAB}$ (hai góc $\widehat{ABC}=\widehat{BCK}$ do ở vị trí so le trong)
$=\widehat{BAD}$
Xét tam giác $ABD$ và $BHK$ có:
$\widehat{HBK}=\widehat{BAD}$ (cmt)
$\frac{AB}{AD}=\frac{BH}{BK}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle BHK$ (c.g.c)
c.
Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:
$\frac{HA}{AB}=\frac{KC}{CB}$
$\Rightarrow AH.CB=AB.KC$
$\Rightarrow AH.DA=DC.KC$
Do đó:
$DA.DH+DC.DK=DA(DA+AH)+DC(DC+KC)$
$=DA^2+DA.AH+DC.KC+DC^2$
$=DA^2+2DA.AH+DC^2$
$=(DA+AH)^2+DC^2-AH^2$
$=DH^2+AB^2-AH^2$
$=DH^2+BH^2=BD^2$
Ta có đpcm.
