Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADM:
\(MD=\sqrt{AM^2-AD^2}=3\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AMK với đường cao AD:
\(AM^2=MD.MK\Rightarrow MK=\dfrac{AM^2}{MD}=\dfrac{25}{3}\left(cm\right)\)
b.
Ta có: \(CK=MK-\left(MD+CD\right)=\dfrac{25}{3}-\left(3+4\right)=\dfrac{4}{3}\left(cm\right)\)
Do AB song song CD, áp dụng định lý talet:
\(\dfrac{IK}{AI}=\dfrac{IC}{BI}=\dfrac{CK}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow IB=3IC\) (1) \(\Rightarrow IB=\dfrac{3}{4}BC=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AI=\sqrt{AB^2+IB^2}=5\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AM=AI\left(đpcm\right)\)
c. Cũng từ (1) \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{5}{3}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AK=AI+IK=\dfrac{20}{3}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{20}{3}\right)^2}=\dfrac{1}{16}\)
