Đề bài thừa t trong giả thiết \(xyzt=1\) nên hiển nhiên chúng ta ko thể giải được cả 3 câu bên dưới :)
Nếu \(xyz=1\)
Đặt tất cả vế trái là P
a.
\(\dfrac{x^2}{x+y+y^3z}=\dfrac{x^3}{x^2+xy+xyz.y^2}=\dfrac{x^3}{x^2+xy+y^2}\)
\(=x-\dfrac{xy\left(x+y\right)}{x^2+xy+y^2}\ge x-\dfrac{xy\left(x+y\right)}{3\sqrt[3]{x^2.xy.y^2}}=x-\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{2x-y}{3}\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\dfrac{2x-y}{3}+\dfrac{2y-z}{3}+\dfrac{2z-x}{3}=\dfrac{x+y+z}{3}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}=1\)
b.
Ta chứng minh BĐT phụ sau (tất nhiên là với x;y dương):
\(x^5+y^5\ge x^2y^2\left(x+y\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(x^3\left(x^2-y^2\right)-y^3\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Do đó:
\(\dfrac{xy}{x^5+y^5+xy}\le\dfrac{xy}{x^2y^2\left(x+y\right)+xy}=\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\dfrac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\dfrac{z}{x+y+z}\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{z}{x+y+z}+\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}=1\)
c.
Hoàn toàn tương tự câu b, chứng minh BĐT phụ:
\(x^7+y^7\ge x^3y^3\left(x+y\right)\)
Từ đó suy ra: \(\dfrac{x^2y^2}{x^7+y^7+x^2y^2}\le\dfrac{x^2y^2}{x^3y^3\left(x+y\right)+x^2y^2}=\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\dfrac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)+xyz}=\dfrac{z}{x+y+z}\)
Quay lại câu b
