\(0,75=\dfrac{3}{4}\)

Số bé:   |----|----|----|

Số lớn:  |----|----|----|----|

Tổng số phần bằng nhau:    3 + 4 = 7 ( phần )

Số bé là:    ( 140 : 7 ) \(\times\) 3 = 60

Số lớn là:    ( 140 : 7 ) \(\times\) 4 = 80

a) Vì AE, DE lần lượt là phân giác ngoài của \(\widehat{A}\) và \(\widehat{D}\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\)

Kéo dài AE giao DE tại M

⇒ DE là đường cao △ ADM

Mà DE cũng là phân giác \(\widehat{D}\)

⇒ E là trung điểm AM

Chứng minh tương tự, ta có: F là trung điểm BN

⇒ EF là đường trung bình tứ giác ABMN

⇒ EF // MN 

⇒ EF // AB và EF // CD  ( đpcm )

b) \(EF=\dfrac{AB+MN}{2}\) ( tính chất đường trung bình )

\(\Rightarrow EF=\dfrac{\left(AB+MN+CD+CN\right)}{2}\left(1\right)\)

Mà MD = AD , CN = BC

Thay vào (1) ta có:

\(EF=\dfrac{AB+AD+CD+BF}{2}\) ( đpcm )

Cho tập \(A=\left\{x\in Z:\dfrac{x^2}{2x+3}\in Z\right\}\), số tập hợp con của A là

a) \(\dfrac{53}{101}\times\dfrac{13}{97}+\dfrac{53}{101}\times\dfrac{84}{97}\)

\(=\dfrac{53}{101}\times\left(\dfrac{13}{97}+\dfrac{84}{97}\right)=\dfrac{53}{101}\times1=\dfrac{53}{101}\)

b) \(\dfrac{5}{23}\times\dfrac{35}{26}-\dfrac{5}{23}\times\dfrac{9}{26}\)

\(=\dfrac{5}{23}\times\left(\dfrac{35}{26}-\dfrac{9}{26}\right)=\dfrac{5}{23}\times1=\dfrac{5}{23}\)

c) \(\left(\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}+\dfrac{1}{2021}\right)\times\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}+\dfrac{1}{2021}\right)\times\left(\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}+\dfrac{1}{2021}\right)\times0\)

\(=0\)

d) \(\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{5}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{6}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{7}\right)\)

\(=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\dfrac{6}{5}\times\dfrac{7}{6}\times\dfrac{8}{7}\)

\(=\dfrac{3\times4\times5\times6\times7\times8}{2\times3\times4\times5\times6\times7}\)

\(=\dfrac{8}{2}\)

\(=4\)

Bài 1:

a) \(A=\sqrt{\dfrac{\left(a^2-3\right)^2+12a^2}{a}}+\sqrt{\left(a+2\right)^2-8a}\)

\(A=\sqrt{\dfrac{a^4-6a^2+9+12a^2}{a^2}}+\sqrt{a^2+4a+4-8a}\)

\(A=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+3\right)^2}{a^2}}+\sqrt{\left(a-2\right)^2}\)

\(A=\dfrac{a^2+3}{\left|a\right|}+\left|a-2\right|\)

Nếu a < 0 thì \(A=\dfrac{-a^2-3-a^2+2a}{a}=\dfrac{-2a^2+2a-3}{a}\)

Nếu 0 < a ≤ 2 thì A = \(\dfrac{a^2+3-a^2+2a}{a}=\dfrac{2a+3}{a}\)

Nếu a > 2 thì A = \(\dfrac{a^2+3+a^2-2a}{a}=\dfrac{2a^2-2a+3}{a}\)

b) Với a ∈ Z thì | a - 2 | ∈ Z

Do đó: để A ∈ Z thì a² + 3 ⋮ |a| hay 3 ⋮ |a|

Suy ra:   a ∈ \(\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

a) \(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{x}}\right)\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

Với \(x>0\) và \(x\ne1\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}}{\left(x+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

b) \(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)

Với \(a>0;a\ne1;a\ne4\)

\(B=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]\)

\(B=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-\left(a-4\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(B=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\)

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật là:

\(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\left(m^2\right)\)

Diện tích mỗi tấm bìa khi được chia làm 3 phần bằng nhau là:

\(\dfrac{1}{6}:3=\dfrac{1}{18}\left(m^2\right)\)

Đáp số:  \(\dfrac{1}{18}m^2\)

Gọi \(x\) là số hàng bác Ân dự định trồng \(\left(x>0\right)\)

       \(y\) là số cây dự định trồng trên mỗi hàng \(\left(y>0\right)\)

Nếu tăng 1 hàng nhưng mỗi hàng bớt 1 cây thì số cây phải trồng tăng lên 10 cây, ta có:  \(\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy+10\left(1\right)\)

Nếu bớt 1 hàng nhưng tăng mỗi hàng 2 cây thì số cây phải trồng tăng thêm 9 cây, ta có:  \(\left(x-1\right)\left(y+2\right)=xy+9\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=10+xy\\\left(x-1\right)\left(y+2\right)=xy+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=33\end{matrix}\right.\)

Số cây bác Ân dự định trồng là:  

\(22\times33=726\) ( cây )

Vậy số cây bác Ân dự định trồng là 726 cây

\(125\times4\times20\times50\times25\times8\)

\(=\left(125\times8\right)\times\left(25\times4\right)\times\left(50\times20\right)\)

\(=1000\times100\times1000\)

\(=100000000\)