Gọi chiều dài,chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là a,b(m) \(\left(a>b>0\right)\)

Theo đề: \(\left\{{}\begin{matrix}ab=80\\\left(a-2\right)\left(b+3\right)=80+32=112\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=80\left(1\right)\\ab+3a-2b-6=112\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (1) vào (2): \(\Rightarrow3a-2b=38\Rightarrow3a=2b+38\) 

Ta có: \(3ab=3.80=240\Rightarrow b\left(2b+38\right)=240\Rightarrow2b^2+38b-240=0\)

\(\Rightarrow\left(b-5\right)\left(b+24\right)=0\) mà \(b>0\Rightarrow b=5\Rightarrow a=16\)

độ dài \(OO'=20cm\)

Ta có: \(EF=OE+O'F-OO'\Rightarrow3=13+10-OO'\)

\(\Rightarrow OO'=20\)

sửa đề: Chứng minh \(MK.MI=MC.MD\)

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MAC=\angle MDA\\\angle DMAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MA^2=MC.MD\left(1\right)\)

Trong (O) có CD là dây cung không đi qua O,có I là trung điểm CD

\(\Rightarrow OI\bot BD\Rightarrow\angle OIM=90\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OBM=90\\\angle OAM=90\end{matrix}\right.\Rightarrow\) AMOI,BMIO nội tiếp 

\(\Rightarrow A,M,O,I,B\) cùng thuộc 1 đường tròn 

\(\Rightarrow AMBI\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle MIA=\angle MBA=\angle MAB=\angle MAK\)

Xét \(\Delta MAK\) và \(\Delta MIA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MAK=\angle MIA\\\angle IMAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAK\sim\Delta MIA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\Rightarrow MA^2=MI.MK\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MI.MK=MC.MD\)

2b)Vì mình ko rõ R của bạn bằng bao nhiêu nên mình tính theo R,bạn có thể thế R vào

Vì \(\Delta ACB\) vuông tại C có \(CI\bot AB\Rightarrow CI^2=AI.IB=\dfrac{1}{2}R.\dfrac{3}{2}R=\dfrac{3}{4}R^2\)

\(\Rightarrow CI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\)

2a) sửa lại đề:chứng minh \(AD^2=AK.AM\)

Xét \(\Delta AKI\) và \(\Delta ABM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AIK=\angle AMB=90\\\angle BAMchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AKI\sim\Delta ABM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AK}{AI}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AK.AM=AB.AI\left(1\right)\)

Trong (O) có dây cung CD không đi qua O và \(AB\bot CD\Rightarrow\) I là trung điểm CD

\(\Rightarrow\Delta ACD\) cân tại A \(\Rightarrow AC=AD\left(2\right)\)

Vì \(\Delta ACB\) vuông tại C có \(CI\bot AB\Rightarrow AC^2=AI.AB\left(3\right)\) (hệ thức lượng)

Từ (1),(2),(3)\(\Rightarrow AD^2=AK.AM\)

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\) mà \(\angle KIB=90\Rightarrow KIBM\) nội tiếp

3) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C có \(CI\bot AB\)

\(\Rightarrow\angle ACI=\angle ABC=\angle AMC\left(ABMCnt\right)\Rightarrow\) AC là tiếp tuyến của (CKM)

1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O,có H là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\angle OMA=90\Rightarrow OMAH\) nội tiếp

2) Ta có: \(\Delta AMO\) vuông tại M có \(AO\bot MI\Rightarrow AM^2=AI.AO\)

đúng đó bạn,thử lại thấy ko sai mà

a) pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-8=0\)

\(ac=1.-8=-8< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-8\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1x_2=-8< 0\Rightarrow x_1,x_2\) trái dấu

Ta có: \(x_1+\sqrt{x_2}=0\Rightarrow x_1=-\sqrt{x_2}< 0\Rightarrow x_2>0\)

Thế vào (2):\(-x_2\sqrt{x_2}=-8\Rightarrow x_2\sqrt{x_2}=8\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_2}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow\sqrt{x_2}=2\Rightarrow x_2=4\Rightarrow x_1=-2\Rightarrow x_1+x_2=2=m\)

Gọi số đó là \(\overline{ab}\left(0< a< 9,0\le b< 9;a,b\in N\right)\)

Theo đề,ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=24\\\overline{ba}-\overline{ab}=27\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=24\\9b-9a=27\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=24\\b-a=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=24\left(1\right)\\2b-2a=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow5b=30\Rightarrow b=6\Rightarrow a=6-3=3\Rightarrow\overline{ab}=36\)