\(G=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)+7}{\sqrt{x}-3}=2+\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(G\in Z\Rightarrow7⋮\sqrt{x}-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1;7;-1;-7\right\}\)

mà \(\sqrt{x}-3\ge-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1;7;-1\right\}\)

Để \(G_{max}\Rightarrow\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}_{max}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3>0\\\sqrt{x}-3_{min}\end{matrix}\right.\Rightarrow\sqrt{x}-3=1\Rightarrow x=4\)

\(\Rightarrow G_{max}=5\)

1) \(M=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right).\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

2) \(M\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{2}\le0\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+2}\le0\)

mà \(2\sqrt{x}+2>0\Rightarrow\sqrt{x}-1\le0\Rightarrow\sqrt{x}\le1\Rightarrow x\le1\Rightarrow0\le x\le1\)

3) \(\dfrac{1}{M}\in Z\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\in Z\) 

mà \(x\in Z\Rightarrow1⋮\sqrt{x}\Rightarrow\sqrt{x}=1\left(\sqrt{x}\ge0\right)\Rightarrow x=1\)

mà \(x\ne1\Rightarrow\) không có x nguyên để \(\dfrac{1}{M}\in Z\)

\(x^2+2mx-1=0\)

\(ac=-1.1=-1< 0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:\(x_1+2x_2=0\Rightarrow x_1=-2x_2\)

\(\Rightarrow-2x_2^2=-1\Rightarrow x_2^2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x_2=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow x_1=\pm\sqrt{2}\)

\(TH_1:\left\{{}\begin{matrix}x_2=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x_1=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1+x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(TH_2:\left\{{}\begin{matrix}x_2=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x_1=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(T=\dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

a) (d) đi qua \(A\left(2;-2\right)\Rightarrow-2=2a+b\)

Vì \((d)\parallel (d')\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-2=1+b\Rightarrow b=-3\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x-3\)

b) Có a,b rồi thì bạn tự vẽ nha

a) Vì M là điểm chính giữa cung AC \(\Rightarrow OM\bot AC\Rightarrow\angle MHC=90\)

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow AM\bot MB\) 

mà \(MB\parallel CD\Rightarrow AM\bot CD\Rightarrow \angle MKC=90\)

\(\Rightarrow CKMH\) nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow CB\bot AC\)

mà \(DM\bot AC\Rightarrow\)\(CB\parallel DM\) mà \(CD\parallel BM\Rightarrow DMBC\) là hình bình hành

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=MB\\BC=DM\end{matrix}\right.\)

c) DA là tiếp tuyến mà \(AC\bot DO\Rightarrow\) DC là tiếp tuyến

\(\Rightarrow DC\bot CO\) mà \(DC\parallel BM\Rightarrow BM\bot CO\Rightarrow\) C là điểm chính giữa MB

\(\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{MA}\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{AM}=60\)

\(\Rightarrow\) để AD là tiếp tuyến thì C nằm trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{BOC}=60\)

d) Từ câu c \(\Rightarrow\Delta BOC\) đều \(\Rightarrow BC=R\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}R\)

\(\Delta MAO\) đều \(\)có \(AH\bot MO\Rightarrow HM=HO=\dfrac{1}{2}R\)

Ta có: \(\Delta DAO\) vuông tại A có \(AM=MO\Rightarrow AM=MO=MD=R\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{3}{2}R\)

Ta có: diện tích phần tam giác ACD ngoài đường tròn là:

\(=S_{ACD}-\left(S_{qAOC}-S_{AOC}\right)=\dfrac{1}{2}DH.AC-\left(\dfrac{\pi R^2.120}{360}-\dfrac{1}{2}.OH.AC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R.\sqrt{3}R-\left(\dfrac{1}{3}\pi R^2-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}R.\sqrt{3}R\right)\)

\(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2-\left(\dfrac{1}{3}\pi-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{3}\pi+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2\)

ý tưởng là vậy chứ tính toán thì bạn kiểm tra lại nghe (mình không chắc mình tính đúng cho lắm)

bổ sung thêm x=-50,mình quên mất

\(\dfrac{100}{x}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{100}{x+10}\Rightarrow\dfrac{100}{x}=\dfrac{x+210}{2x+20}\Rightarrow200x+2000=x^2+210x\)

\(x^2+10x-2000=0\Leftrightarrow\left(x+50\right)\left(x-40\right)=0\Rightarrow x=40\)

Gọi độ dài chiều dài là a(m) \(\left(a>1\right)\)

\(\Rightarrow\) độ dài chiều rộng là \(a-1\) (m)

Theo đề: \(a^2+\left(a-1\right)^2=25\Rightarrow2a^2-2a+1=25\Rightarrow2a^2-2a-24=0\)

\(\Rightarrow a^2-a-12=0\Rightarrow\left(a+3\right)\left(a-4\right)=0\)

mà \(a>1\Rightarrow a=4\left(cm\right)\Rightarrow\) chiều rộng \(=3\left(cm\right)\)

a) pt hoành độ giao điểm \(x^2+4x+4=0\Rightarrow\left(x+2\right)^2=0\Rightarrow x=-2\)

\(\Rightarrow y=-\left(-2\right)^2=-4\Rightarrow\) tọa độ giao điểm là \(\left(-2;-4\right)\)

b) Vì \((d)\parallel (d')\Rightarrow \) \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b\ne4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=4x+b\)

Vì (d') cắt (P) tại điểm  có hoành độ là -1 \(y=-\left(-1\right)^2=-1\)

\(\Rightarrow\) điểm đó có tọa độ là \(\left(-1;-1\right)\)

\(\Rightarrow-1=-4+b\Rightarrow b=3\Rightarrow y=4x+3\)