\(2+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}=2+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2\sqrt{2}\)

\(=2+\sqrt{3}+\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)=\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+1\right)\)

\(M=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}+9}{x-9}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3+\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}\)

Để M là số tự nhiên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2⋮\sqrt{x}-3\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3\in\left\{2;1;-1;-2\right\}\\x>9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{25;16;4;1\right\}\\x>9\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in\left\{25;16\right\}\)

Thế vào M,ta đường \(\left\{{}\begin{matrix}x=25\Rightarrow M=1\\x=16\Rightarrow M=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\) có giá trị là số tự nhiên lớn nhất là \(2\) khi \(x=16\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}\ne0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ge1\end{matrix}\right.\Rightarrow x>1\)

AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)

\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)

\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao 

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định

\(\Rightarrow\) đpcm

a) \(\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\)

b) \(\sqrt{x}=\sqrt{7}\Rightarrow x=7\)

c) \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)

d) \(2\sqrt{x}=16\Rightarrow\sqrt{x}=8\Rightarrow x=64\)

e) \(\sqrt{4x}< 2\Rightarrow2\sqrt{x}< 2\Rightarrow\sqrt{x}< 1\Rightarrow x< 1\Rightarrow0\le x< 1\)

g) \(\sqrt{x+1}>3\Rightarrow x+1>9\Rightarrow x>8\)

h) \(2\sqrt{x-2}=8\Rightarrow\sqrt{x-2}=4\Rightarrow x-2=16\Rightarrow x=18\)

k) Vì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\) pt vô nghiệm

\(2\sqrt{2}=\sqrt{4.2}=\sqrt{8}\)

Vì \(8>1\Rightarrow\sqrt{8}>\sqrt{1}\Rightarrow2\sqrt{2}>1\)

\(\sqrt{10-2\sqrt{21}}-\sqrt{10+2\sqrt{21}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2.\sqrt{7}.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2+2.\sqrt{7}.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)^2}=\left|\sqrt{7}-\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{7}+\sqrt{3}\right|\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{3}-\sqrt{7}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\)

5.

4.

3.