a) \(\sqrt{125}-2\sqrt{20}-3\sqrt{80}+4\sqrt{45}=\sqrt{25.5}-2\sqrt{4.5}-3\sqrt{16.5}+4\sqrt{9.5}\)

\(=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}-12\sqrt{5}+12\sqrt{5}=\sqrt{5}\)

b) \(10\sqrt{28}-2\sqrt{275}-3\sqrt{343}-\dfrac{3}{2}\sqrt{396}\)

\(=10\sqrt{4.7}-2\sqrt{25.11}-3\sqrt{49.7}-\dfrac{3}{2}\sqrt{36.11}\)

\(=20\sqrt{7}-10\sqrt{11}-21\sqrt{7}-9\sqrt{11}=-\sqrt{7}-19\sqrt{11}\)

c) \(\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}+\dfrac{1}{7-4\sqrt{3}}=\dfrac{7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}}{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}=\dfrac{14}{1}=14\)

d) \(\dfrac{1}{2\sqrt{11}-3\sqrt{7}}=\dfrac{2\sqrt{11}+3\sqrt{7}}{\left(2\sqrt{11}-3\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{11}+3\sqrt{7}\right)}=\dfrac{2\sqrt{11}+3\sqrt{7}}{-19}\)

\(=-\dfrac{2\sqrt{11}+3\sqrt{7}}{19}\)

Ta có: \(HC-HB=9\Rightarrow HC=9+HB\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC=HB\left(HB+9\right)\Rightarrow HB^2+9HB=36\)

\(\Rightarrow HB^2+9HB-36=0\Rightarrow\left(HB-3\right)\left(HB+12\right)=0\)

mà \(HB>0\Rightarrow HB=3\left(cm\right)\Rightarrow HC=3+9=12\left(cm\right)\)

3a) tam giác BHC vuông tại H nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow HB^2+HC^2=BC^2\)

tam giác ABC vuông tại B có đường cao BH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow BC^2=CH.CA\Rightarrow HB^2+HC^2=HC.AC\)

b) vì \(\angle DMB=\angle MBN=\angle DNB=90\Rightarrow DMBN\) là hình chữ nhật

Vì BD là phân giác góc B \(\Rightarrow\angle MBD=45\Rightarrow\Delta MBD\) vuông cân tại M

\(\Rightarrow MD=MB\Rightarrow MDNB\) là hình vuông

a) tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go:

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng 

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4.8\left(cm\right)\)

b) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

tam giác AHI vuông tại H có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AF.AI=AH^2\Rightarrow AF.AI=AE.AB\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AI}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta AIB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AI}=\dfrac{AF}{AB}\\\angle BAIchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta AIB\left(c-g-c\right)\)

a) \(\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}=\sqrt{16}-6+\sqrt{20}-\sqrt{5}\)

\(=4-6+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)

b) \(0,2\sqrt{\left(-10\right)^2.3}+2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2}=0,2.\left|-10\right|.\sqrt{3}+2\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|\)

\(=0,2.10.\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{5}\)

c) \(\dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{2}+\dfrac{4}{5}\sqrt{200}}{\dfrac{1}{8}}=\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{2}+\dfrac{4}{5}.10\sqrt{2}\right).8\)

\(=4\sqrt{\dfrac{1}{2}}-12\sqrt{2}+64\sqrt{2}=2\sqrt{4.\dfrac{1}{2}}+52\sqrt{2}=2\sqrt{2}+52\sqrt{2}=54\sqrt{2}\)

d) \(2\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}+\sqrt{2.\left(-3\right)^2}-5\sqrt{\left(-1\right)^4}\)

\(=2\left|\sqrt{2}-3\right|+\left|-3\right|.\sqrt{2}-5\sqrt{1}=2\left(3-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-5\)

\(=6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5=1+\sqrt{2}\)

b) \(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{1-\sqrt{3}}\right).\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(=\left(-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)=-\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(=-\left(7-5\right)=-2\)

c) \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b\)

d) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a\)

a) \(xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1=y\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}-1\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(y\sqrt{x}+1\right)\)

b) \(\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}=\sqrt{a}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

c) \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a+b}\left(\sqrt{a-b}+1\right)\)

d) \(12-\sqrt{x}-x=-\left(x+\sqrt{x}-12\right)=-\left(x-3\sqrt{x}+4\sqrt{x}-12\right)\)

\(=-\left(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+4\left(\sqrt{x}-3\right)\right)=-\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)\)

\(=\left(3-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+4\right)\)

\(M=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5-\sqrt{x}}{x-1}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{5\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{5}{\sqrt{x}+1}\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\le2\Rightarrow1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\ge-1\)

\(\Rightarrow P_{min}=-1\) khi \(x=0\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)

tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=\dfrac{25}{16}AC^2\)

\(\Rightarrow10000=\dfrac{25}{16}AC^2\Rightarrow AC^2=6400\Rightarrow AC=80\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}.80=60\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{60.80}{100}=48\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{60^2}{100}=36\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{80^2}{100}=64\left(cm\right)\)