a) xét delta phẩy ta có b'² - ac 

<=> 4 - m 

b) để pt 1 luôn có nghiệm thì delta phẩy ≥ 0 

=> 4-m ≥ 0 => m ≤ 4

c) xét delta phẩy của pt (1) ta có 

4 - m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thì delta phẩy ≥ 0 => m ≤ 4 

theo Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=4\\x1x2=m\end{matrix}\right.\)

theo bài ra ta có: x1² + x2² = 12 <=> ( x1+x2 )² - 2x1x2 = 12 

<=> 16 - 2m -12 = 0 <=> 2m = 4 <=> m = 2 ( thỏa đk)

vậy m = 2 thì pt thỏa mãn điều kiện.

d) A= x1² + x2² 

<=> A = (x1+x2)² - 2x1x2 

<=> A = 16 - 2m ta có m ≤ 4 

nên giá trị lớn nhất của m = 4 

vậy giá trị nhỏ nhất của A = 16 - 2.4 

GTNN của A = 8 dấu "=" xảy ra khi m = 4 

1b xét delta phẩy có 

4 - 1 + 2m = 2m + 3 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thì delta phẩy > 0 => 2m+3 > 0 => m > \(\dfrac{-3}{2}\)

theo Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=4\\x1x2=1-2m\end{matrix}\right.\)

( x1-x2)² = 3x1x2 + 1 <=> x1² + x2² - 2x1x2 = 3x1x2 + 1 

<=> (x1+x2)² - 7x1x2 - 1 = 0 <=> 16 - 7 + 14m - 1 = 0 

<=> 14m = -8 <=> m = \(\dfrac{-4}{7}\)

vậy m =  \(\dfrac{-4}{7}\) thì phương trình có nghiệm thỏa mãn.

2)  

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-5xy+2y^2=0\\2x^2-y^2=7\end{matrix}\right.\) <=> 3y² - 5xy = -7 <=> y(3y-5x) = -7

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=-7\\3y-5x=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=1\\3y-5x=-7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\3y-5x=7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=7\\3y-5x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)<=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=-7\\x=\dfrac{-22}{5}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=7\\x=\dfrac{22}{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

thay vào pt 2x²-5xy+2y² = 0  ta có x= \(\dfrac{-22}{5}\);y=-7 hoặc x=\(\dfrac{22}{5}\);y=7 (loại)

vậy (x;y) = {(2;1);(-2;-1)}

gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x điều kiện x > 2

ta có thời gian ca nô đi xuôi dòng đi hết 48km là : \(\dfrac{48}{x+2}\)

ta có thời gian ca nô đi ngược dòng đi hết 36km là: \(\dfrac{36}{x-2}\)

tổng thời gian đi là 6h vậy ta có phương trình 

\(\dfrac{48}{x+2}+\dfrac{36}{x-2}=6\)

<=> 48x - 96 + 36x + 72 = 6x² - 24

<=> 6x² - 84 = 0 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=24\end{matrix}\right.\) x = 0 loại ; x = 24 nhận 

vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 24km/h

a) xét tứ giác ANMB có góc ANB = góc AMB lại cùng nhìn cạnh AB nên theo cung chứa góc thì tứ giác ANMB nội tiếp 

b) có tứ giác ANMB nội tiếp nên góc AMN = góc ABN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn (ANMB)

c) ta có tam giác AMC vuông tại M 

góc C = 30 độ thì góc MAC = 60 độ và là góc nội tiếp chắn cung MN 

=> góc MAC = 1/2 số đo cung MN 

=> số đo cung MN = 2.góc MAC = 2.60 = 120 độ 

vậy cung MN = 120 độ 

xét delta phẩy có

1+1-m = 2-m vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 là m ≤2 

theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2\\x1x2=m-1\end{matrix}\right.\)

theo bài ra ta có: 

2x1 + x2 = 5 

x1 + 2 = 5 => x1 = 3 => x2 = -1 

ta có x1x2 = m - 1 => m - 1 = -3 

=> m = -2 vậy m = -2 để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thỏa mãn 2x1 + x2 = 5.

bình phương 2 vế lên 

(\(\left|x1-x2\right|\))² = (x1-x2)² = (x1+x2)² - 4x1x2 

rồi ráp hệ thức Vi-ét vào.

đặt x+y = u ; xy = v đk: u² ≥ 4v 

\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=5\\u^2-v=7\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}u^2+u-12=0\left(1\right)\\u+v=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

từ pt 1 => \(\left[{}\begin{matrix}u=-4\\u=3\end{matrix}\right.\)

nghiệm u = - 4 loại 

u = 3 nhận => v = 2 

<=> x+y = 3 ; xy = 2 

đặt x+y = S ; xy = P đk: S² ≥ 4P 

=> x và y là nghiệm của phương trình 

X² - SX + P = 0 

= X² - 3X + 2 = 0 

=> \(\left[{}\begin{matrix}X=2\\X=1\end{matrix}\right.\)

vậy (x;y) = {(1;2);(2;1)} 

câu a tự làm nha 

b)  

P=( \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\)) : (\(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2-x}{x\sqrt{x}+x}\))

P= \(\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}}{x-1}\) : ( \(\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+1\right)-2+x}{x\sqrt{x}+x}\))

P= \(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-1}\) . \(\dfrac{x\sqrt{x}+x}{2\sqrt{x}+x}\)

P= \(\dfrac{x\sqrt{x}+x}{x-1}\)

xét delta 

m² + 4m² + 4 = 5m² + 4 > 0 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm x1x2

theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=m\\x1x2=-m^2-1\end{matrix}\right.\) 

x1² + x2² = 3 

<=> ( x1 +x2 )² - 2x1x2 = 3 

<=> m² + 2m² + 2 = 3 

<=> 3m² = 1 

=> m² = \(\dfrac{1}{3}\)

=> m = +- \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

x² - (m-1)x + 2m-6 = 0 

a)xét delta 

(m-1)² - 4(2m-6) = m² - 2m + 1 - 8m + 24 

= m² - 10m + 25 = (m-5)² ≥ 0 

=> pt luôn có 2 nghiệm với mọi m thuộc R 

b) theo Vi-ét ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=m-1\\x1x2=2m-6\end{matrix}\right.\)

theo đề ta có \(A=\dfrac{2x1}{x2}+\dfrac{2x2}{x1}\)  đk: m ≠ 3 

A = \(\dfrac{2x1^2+2x2^2}{x1x2}=\dfrac{2\left(\left(x1+x2\right)^2-2x1x2\right)}{2m-6}\)

A=\(\dfrac{m^2-6m+25}{m-3}\)

để A có giá trị nguyên thì m² - 6m + 25 ⋮ m - 3 

m² - 6m + 9 + 16 ⋮ m - 3 

(m-3)² + 16 ⋮ m-3 

16 ⋮ m - 3 => m-3 thuộc ước của 16 

U(16) = { - 16; - 8; - 4; -2 ; -1 ; 1 ; 2; 4; 8; 16 }

=> m- 3 =  { - 16; - 8; - 4; -2 ; -1 ; 1 ; 2; 4; 8; 16 }

m = { - 13 ; -5 ; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11; 19 }