Câu 4:

Xét tam giác ABC có

D là trung điểm của AC(gt)

E là trung điểm của BC(gt)

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow AB=2DE=2.15=30\left(m\right)\)

Câu 5:

Xét hình thang ABCD có:

E là trung điểm của AD(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

=> EF là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow EF=\dfrac{AB+CD}{2}\Rightarrow45=\dfrac{32+x}{2}\Rightarrow x=45.2-32=58\left(cm\right)\)

Câu 6:

Xét hình thang AMEC có:

 B là trung điểm AC(AB=BC)

BN//CE//AM( cùng vuông góc AD)

=> N là trung điểm ME

=> ME=2.MN=70(cm)

Xét hình thang BNFD có:

C là trung điểm BD(BC=CD)

CE//BN//DF(cùng vuông góc AD)

=> E là trung điểm NF

=> EF=EN=MN=35cm

Ta có: MF = EF+ME=70+35=105(cm)

1) \(5^{x+1}-5^x=20\Leftrightarrow5^x\left(5-1\right)=20\Leftrightarrow5^x=5\Leftrightarrow x=1\)

2) \(2^x+2^{x+4}=544\Leftrightarrow2^x\left(1+2^4\right)=544\Leftrightarrow2^x=32\Leftrightarrow x=5\)

3) \(4^{2x+1}+4^{2x}=80\Leftrightarrow4^{2x}\left(4+1\right)=80\Leftrightarrow16^x=16\Leftrightarrow x=1\)

4) \(3^{2x+2}+3^{2x+1}=108\Leftrightarrow3^{2x}\left(3^2+3\right)=108\Leftrightarrow9^x=9\Leftrightarrow x=1\)

5) \(7^{x+3}-7^{x+1}=16464\Leftrightarrow7^x\left(7^3-7\right)=16464\Leftrightarrow7^x=49\Leftrightarrow x=2\)

a) Xét tam giác AHB và tam giác BCD có

\(\widehat{AHB}=\widehat{BCD}=90^0\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(2 góc so le trong do AB//CD)

=> \(\Delta AHB\sim\Delta BCD\left(g.g\right)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD vuông tại A có đường cao AH:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{25}{1296}\)( do AD=BC=9cm)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{36}{5}\left(cm\right)\)

c) Xét tam giác ABD vuông tại A có

\(AB^2+AD^2=BD^2=225\Rightarrow BD=15\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD vuông tại A có đường cao AH:

\(AB^2=BH.BD\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BD}=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

\(S_{AHB}=\dfrac{1}{2}AH.BH=\dfrac{1}{2}.\dfrac{36}{5}.\dfrac{48}{5}=\dfrac{864}{25}\left(cm^2\right)\)

\(\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{b+c}{4}=\dfrac{c+a}{5}=\dfrac{a+b+b+c+c+a}{3+4+5}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{12}=\dfrac{a+b+c}{6}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a+b+c}{6}\\\dfrac{b+c}{4}=\dfrac{a+b+c}{6}\\\dfrac{c+a}{5}=\dfrac{a+b+c}{6}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+3b=3c\\2b+2c=4a\\a+c=b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=0\)

a) \(A=y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)=0\)

b) \(B=\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3\left(1-x\right)x=x^3-3x^2+3x-1-x^3-x^2-x+x^2+x+1-3x+3x^2=0\)

1) \(5^{x+1}-5^x=20\Leftrightarrow5^x\left(5-1\right)=20\Leftrightarrow5^x=5\Leftrightarrow x=1\)

2) \(2^x+2^{x+4}=544\Leftrightarrow2^x\left(1+2^4\right)=544\Leftrightarrow2^x=32\Leftrightarrow x=5\)

3) \(4^{2x+1}+4^{2x}=80\Leftrightarrow4^{2x}\left(4+1\right)=80\Leftrightarrow16^x=16\Leftrightarrow x=1\)

4) \(3^{2x+2}+3^{2x+1}=108\Leftrightarrow3^{2x}\left(3^2+3\right)=108\Leftrightarrow9^x=9\Leftrightarrow x=1\)

5) \(7^{x+3}-7^{x+1}=16464\Leftrightarrow7^x\left(7^3-7\right)=16464\Leftrightarrow7^x=49\Leftrightarrow x=2\)

1 giờ vòi I chảy được là: \(\dfrac{1}{2}\) bể

1 giờ vòi II chảy được là: \(\dfrac{1}{6}\) bể

1 giờ cả 2 vòi chảy được là: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}\) (bể)

Thời gian cả 2 vòi cùng chảy để đầy bể là:

\(1:\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{2}=1.5\)(giờ)

a) \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

b) \(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=25\Leftrightarrow1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)-25=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(1+xy\right)^2-25=0\Leftrightarrow\left(x+y+1+xy\right)^2-25=0\Leftrightarrow\left(x+y+xy-24\right)\left(x+y+xy+26\right)=0\)

1) \(4x^2+4x+3=\left(2x+1\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2021}{4x^2+4x+3}\le\dfrac{2021}{2}\Rightarrow H=-\dfrac{2021}{4x^2+4x+3}\ge-\dfrac{2021}{2}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

2) \(5x^2-2x+10=5\left(x^2-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{25}\right)+\dfrac{49}{5}=5\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{49}{5}\ge\dfrac{49}{5}\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{-2019}{5x^2-2x+10}\ge-\dfrac{10095}{49}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\)

a) \(x^2\left(x^2+4\right)-x^2-4=x^2\left(x^2+4\right)-\left(x^2+4\right)=\left(x^2+4\right)\left(x^2-1\right)=\left(x^2+4\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

b) \(\left(x^2+x\right)^2+4x^2+4x-12=\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)+4-16=\left(x^2+x+2\right)^2-4^2=\left(x^2+x+2-4\right)\left(x^2+x+2+4\right)=\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+6\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x^2+x+6\right)\)

c) \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)-24=\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)-24=\left(x^2+7x+10\right)^2+2\left(x^2+7x+10\right)+1-25=\left(x^2+7x+11\right)^2-5^2=\left(x^2+7x+11-5\right)\left(x^2+7x+11+5\right)=\left(x^2+7x+6\right)\left(x^2+7x+16\right)=\left(x+1\right)\left(x+6\right)\left(x^2+7x+16\right)\)