a) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

\(AB=AC\)(tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=AE\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A

b) Ta có: \(BM=MC\) (M là trung điểm BC)

               \(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BM+BD=MC+CE\Rightarrow MD=ME\)

=> M là trung điểm của DE

Xét tam giác ADE vuông tại A có

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm DE)

=> AM là tia phân giác \(\widehat{DAE}\)

Và AM là đường trung trực ΔADE => AM⊥DE

c) Xét tam giác BHD vuông tại H và tam giác CKE vuông tại K có

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)( Tam giác ADE cân tại A)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BHD=\Delta CKE\left(ch-gn\right)\)

=> BH=CK(2 cạnh tương ứng)

d) Ta có: AD=AE( tam giác ADE cân tại A)

             DH=KE( tam giác BHD = tam giác CKE)

=> AD-DH=AE-KE

=> AH=AK

=> Tam giác AHK cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

Mà \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (tam giác AADE cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\)

Mà 2 góc này là 2 góc đồng vị

=> HK//DE => HK//BC

Câu 10:

 a) \(B=\left(\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{4a}{4-a}\right):\dfrac{3a+4}{\sqrt{a}+2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2+\left(\sqrt{a}+2\right)^2+4a}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{a}+2}{3a+4}=\dfrac{a-4\sqrt{a}+4+a+4\sqrt{a}+4+4a}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(3a+4\right)}=\dfrac{6a+8}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(3a+4\right)}=\dfrac{2\left(3a+4\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(3a+4\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\)

b)Ta có:  \(\sqrt{a}-2\ge-2\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\le-1\)

Để \(B< -1\) thì \(\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\ne-1\Leftrightarrow\sqrt{a}-2\ne-2\Leftrightarrow a\ne0\) và \(a\ge0,a\ne4\)

Câu 11:

a) \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-4x}{1-4x}-1\right):\left(\dfrac{1+2x}{1-4x}-\dfrac{2\sqrt{x}}{1-2\sqrt{x}}-1\right)=\dfrac{\sqrt{x}-4x-1+4x}{1-4x}:\dfrac{1+2x-2\sqrt{x}\left(1+2\sqrt{x}\right)-1+4x}{1-4x}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{1-4x}.\dfrac{1-4x}{2x-2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

b) Thay x=\(3-2\sqrt{2}\) vào P ta được:

\(P=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}}=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)^2}=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)

c) \(P=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 2\Rightarrow0< x< 1\) và \(x\ne\dfrac{1}{4}\)

Sửa lại: \(x=9\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\)

Để P nguyên thì \(\sqrt{x}+2\inƯ\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

Do x nguyên và \(x\ge0\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{3}\)

n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi n là số tự nhiên

\(\left(a-b\right)^2+6ab=36\Rightarrow6ab=36-\left(a-b\right)^2\le36\)

\(\Rightarrow ab\le\dfrac{36}{6}=6\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=\pm\sqrt{6}\)

\(\sqrt{\left(2\sqrt{5}-5\right)^2}+\sqrt{24-8\sqrt{5}}=\left|2\sqrt{5}-5\right|+\sqrt{\left(2\sqrt{5}-2\right)^2}=5-2\sqrt{5}+\left|2\sqrt{5}-2\right|=5-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2=3\)

\(\dfrac{A}{2x-1}=\dfrac{6x^3+3x^2}{4x^2-1}\Leftrightarrow\dfrac{A}{2x-1}=\dfrac{3x^2\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\Leftrightarrow\dfrac{A}{2x-1}=\dfrac{3x^2}{2x-1}\Leftrightarrow A=3x^2\)

\(G=\left\{0;2;4;6;8;10;12\right\}\)

\(\left(x-y\right)^3-x^3+y^3=\left(x-y\right)^3-\left(x^3-y^3\right)=\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-2xy+y^2-x^2-xy-y^2\right)=-3xy\left(x-y\right)\)