\(\left(x+1\right)+\left(x+2\right)+...+\left(x+30\right)=795\)

\(\Leftrightarrow30x+\dfrac{30\left(30+1\right)}{2}=795\Rightarrow x=\dfrac{795-\dfrac{30\left(30+1\right)}{2}}{30}=11\).

Vậy: \(x=11.\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\). Do là số lẻ nên \(d\) có 4 cách chọn (1, 3, 5, 7), tiếp theo, \(a\) sẽ còn 7 cách chọn, \(b\) còn 6 cách chọn và \(c\) còn 5 cách.

Tổng số cách là: \(n\left(A\right)=4\cdot7\cdot6\cdot5=840\).

(Nhiều lắm không liệt kê hết được đâu.)

Bảo toàn động lượng cho hệ theo phương ngang: \(m_1v_1=\left(m_1+m_2\right)v\)

\(\Rightarrow v_1=\dfrac{\left(m_1+m_2\right)v}{m_1}=\dfrac{\left(0,3+0,2\right)\cdot5}{0,3}=\dfrac{25}{3}\left(ms^{-1}\right)\)

Theo đề: \(W_đ=W_t\Rightarrow W=2W_t\).

Bảo toàn cơ năng, thu được: \(\dfrac{1}{2}mv_0^2+mgh_1=2mgh_2\Rightarrow h_2=\dfrac{v_0^2+2gh_1}{4g}\).

Thay số: \(h_2=\dfrac{15^2+2\cdot10\cdot4,75}{4\cdot10}=8\left(m\right)\Rightarrow s=h_2-h_1=8-4,75=3,25\left(m\right)\).

Do đó: \(L=4s=4\cdot3,25=13\left(m\right)\).

Bảo toàn cơ năng tại vị trí \(h_2\) và độ cao cực đại: \(2mgh_2=mgH\Rightarrow H=2h_2=2\cdot8=16\left(m\right)\).

Khoảng cách từ \(M\) đến độ cao cực đại là: \(d=H-h_0=16-4,75=11,25\left(m\right)\)

Ta thấy: \(L>d\) nên lúc này, vật đã đạt độ cao cực đại và đang rơi xuống. Độ cao của vật lúc này so với đất là: \(h_3=H-\left(L-d\right)=16-\left(13-11,25\right)=14,25\left(m\right)\).

Bảo toàn cơ năng tại độ cao cực đại và vị trí \(h_3:\)

\(mgH=\dfrac{1}{2}mv^2+mgh_3\Rightarrow v=\sqrt{2g\left(H-h_3\right)}\).

Thay số: \(v=\sqrt{2\cdot10\left(16-14,25\right)}=\sqrt{35}\left(ms^{-1}\right)\)

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-2\Rightarrow x=0;y=-2\).

Thay vào hàm số: \(-2=0a+b\Leftrightarrow b=-2\left(1\right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(ax+b=-x+1\). Theo đề bài thì \(x=-3\), suy ra:

\(-3a+b=4\left(2\right)\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=-2\end{matrix}\right.\).

Lấy mốc thế năng tại mặt đất. Theo đề bài: \(3W_đ=2W_t\Rightarrow W_đ=\dfrac{2}{3}W_t\).

Bảo toàn cơ năng cho vật: \(W=W_đ+W_t=\dfrac{5}{3}W_t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}mv_0^2+mgh_1=\dfrac{5}{3}mgh_2\Rightarrow h_2=\dfrac{3v_0^2+6gh_1}{10g}\).

Thay số: \(h_2=\dfrac{3\cdot5^2+6\cdot10\cdot40}{10\cdot10}=24,75\left(m\right)\).

Vậy: Tại độ cao \(h_2=24,75\left(m\right)\) thì \(3W_đ=2W_t\).

Lấy mốc thế năng ở mặt đất. Tại vị trí cao nhất: \(v=v_x=v_0cos\alpha\), và \(\overrightarrow{v}\), hay \(\overrightarrow{p}\) hướng theo phương ngang.

Bảo toàn động lượng cho vật: \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}\Leftrightarrow\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_1}\)

Theo đề bài thì: \(\overrightarrow{p}\perp\overrightarrow{p_1}\Rightarrow p_2=\sqrt{p^2+p_1^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m}{2}v_2=\sqrt{\left(mv_0cos\alpha\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}v_1\right)^2}\Leftrightarrow v_2=2\sqrt{\left(v_0cos\alpha\right)^2+\dfrac{1}{4}v_1^2}\)

Thay số: \(v_2=2\sqrt{\left(300\cdot cos60^o\right)^2+\dfrac{1}{4}\cdot400^2}=500\left(ms^{-1}\right)\).

Vậy: \(v_2=500\left(ms^{-1}\right)\)

\(F\left(4;0\right)\Rightarrow\dfrac{p}{2}=4\Leftrightarrow p=8\)

ĐK: \(x>9\). Đặt \(t=\sqrt{x}\left(t>3\right)\)

Ta có: \(y=P^2=\dfrac{t^2+7}{t-3}\left(y\ge0\right)\Rightarrow t^2-yt+3y+7=0\left(1\right)\)

Phương trình có nghiệm khi: \(\Delta=y^2-4\left(3y+7\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y^2-12y-28\ge0\Leftrightarrow\left(y-6\right)^2\ge64\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y-6\ge8\\y-6\le-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y\ge14\left(N\right)\\y\le-2\left(L\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow P^2_{min}=y_{min}=14\Rightarrow P_{min}=\sqrt{14}\).

Dấu bằng xảy ra tại \(x=t^2\), với \(t\) là nghiệm kép của phương trình \(\left(1\right)\), tức là: \(t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\left(-y_{min}\right)}{2\cdot1}=\dfrac{14}{2}=7\) (thỏa mãn). Tổng quát lại, \(P_{min}=\sqrt{14}\Leftrightarrow x=t^2=7^2=49\)

Dễ thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=10\\x_1x_2=9\end{matrix}\right.\).

Ta có: \(P^2=\dfrac{x_1}{10x_2-9}+\dfrac{x_2}{10x_1-9}+2\sqrt{\dfrac{x_1x_2}{\left(10x_1-9\right)\left(10x_2-9\right)}}\).

\(=\dfrac{x_1\left(10x_1-9\right)+x_2\left(10x_2-9\right)}{\left(10x_1-9\right)\left(10x_2-9\right)}+2\sqrt{\dfrac{x_1x_2}{\left(10x_1-9\right)\left(10x_2-9\right)}}\)

\(=\dfrac{10\left(x_1^2+x_2^2\right)-9\left(x_1+x_2\right)}{100x_1x_2-90\left(x_1+x_2\right)+81}+2\sqrt{\dfrac{x_1x_2}{100x_1x_2-90\left(x_1+x_2\right)+81}}\)

\(=\dfrac{10\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-9\left(x_1+x_2\right)}{100x_1x_2-90\left(x_1+x_2\right)+81}+2\sqrt{\dfrac{x_1x_2}{100x_1x_2-90\left(x_1+x_2\right)+81}}\)

Suy ra: \(P^2=\dfrac{10\left(10^2-2\cdot9\right)-9\cdot10}{100\cdot9-90\cdot10+81}+2\sqrt{\dfrac{9}{100\cdot9-90\cdot10+81}}\)

\(\Rightarrow P^2=\dfrac{784}{81}\Rightarrow P=\dfrac{28}{9}\)

Vậy: \(P=\dfrac{28}{9}.\)