(a) \(A=\left(\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}\)

\(=\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right]:\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{1-x}{x}\)

Vậy: \(A=\dfrac{1-x}{x}\)

(b) \(A>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x}-\dfrac{1}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(1-x\right)-x}{2x}>0\Rightarrow2\left(1-x\right)-x>0\) (do \(x>0\)).

\(\Leftrightarrow x< \dfrac{2}{3}\).

Vậy: \(A>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow0< x< \dfrac{2}{3}\)

Ta có: \(2x+3y=30\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\left(10-y\right)>0\)

\(\Rightarrow y< 10\Rightarrow y\in\left\{1;2;...;9\right\}\). Cũng từ \(y>0\Rightarrow10-y< 10\)

Thêm cả \(x\in Z\Rightarrow\left(10-y\right)\in B\left(2\right)=\left\{2;4;6;8\right\}\).

Suy ra: \(y\in\left\{8;6;4;2\right\}\), ứng với \(x\in\left\{3;6;9;12\right\}\).

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;8\right),\left(6;6\right),\left(9;4\right),\left(12;2\right)\right\}\)

\(\left(d\right)\) có dạng \(y=kx+b\), do \(M\left(0;1\right)\in\left(d\right)\Rightarrow1=k\cdot0+b\)

\(\Rightarrow b=1\Rightarrow y=kx+1\).

Ta có: \(AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\).

\(=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(x_2^2-x_1^2\right)^2}\) (do \(A,B\in\left(P\right):y=x^2\))

\(=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2\left[\left(x_1+x_2\right)^2+1\right]}\)

\(=\sqrt{\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]\left[\left(x_1+x_2\right)^2+1\right]}\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=kx+1\Leftrightarrow x^2-kx-1=0\left(1\right)\).

Để thỏa mãn đề thì phương trình \(\left(1\right)\) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

\(\Delta=\left(-k\right)^2-4\left(-1\right)=k^2+4>0\) (luôn đúng).

Do đó, \(\left(1\right)\) có nghiệm với mọi \(k\).

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=k\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-1\end{matrix}\right.\).

Thay hệ trên vào \(AB\), thu được:

\(AB=\sqrt{\left[k^2-4\left(-1\right)\right]\left(k^2+1\right)}=\sqrt{\left(k^2+4\right)\left(k^2+1\right)}\)

Hạ \(OH\perp d\left(H\in d\right)\), suy ra phương trình đường thẳng \(OH\) có dạng: \(y=-\dfrac{1}{k}x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d,OH:kx+1=-\dfrac{1}{k}x\)

\(\Rightarrow x_H=-\dfrac{k}{k^2+1}\Rightarrow y_H=\dfrac{1}{k^2+1}\).

Do đó: \(OH=\sqrt{\left(x_H-0\right)^2+\left(y_H-0\right)^2}=\sqrt{\left(-\dfrac{k}{k^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{1}{k^2+1}\right)^2}\)

Diện tích tam giác \(OAB:\)

\(S=\dfrac{1}{2}AB\cdot OH\Leftrightarrow4\sqrt{2}=\sqrt{\left(k^2+4\right)\left(k^2+1\right)}\cdot\sqrt{\dfrac{k^2+1}{\left(k^2+1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2}=\sqrt{k^2+4}\Rightarrow k=\pm2\sqrt{7}\).

\(\left(P\right)\) của lớp 9 có dạng \(y=ax^2\), tức là nó đi qua \(O\left(0;0\right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.

Giả sử hai điểm đối xứng đó là \(A,B\in\left(P\right)\) thì do nhận \(Oy\) là trục đối xứng nên \(AB\perp Oy\Rightarrow AB\left|\right|Ox\).

Do đó, khoảng cách từ \(A,B\) đến \(Oy\) bằng nhau và bằng \(x\). Mà nó nằm hai phía so với \(Oy\) nên sẽ có một hoành độ dương, hoành độ âm, tức là \(x_1=-x_2\Rightarrow x_1+x_2=0.\)

Khuyến khích bạn vẽ hình ra minh họa nhé.

Hai quả cầu nhỏ có khối lượng \(m_1,m_2\) được nối với nhau và treo vào trần nhà bằng hai sợi dây nhẹ không giãn có chiều dài \(l_1,l_2\). Hệ được giải phóng từ trạng thái đứng yên, các dây treo hợp với phương thẳng đứng các góc \(\theta,\phi\) (hình \(1b\)). Tính lực căng của các dây lúc giải phóng hệ.

Dấu bằng không xảy ra nhé. Nếu \(P_{min}=2\) thì \(t=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}=1\Leftrightarrow a+b=\sqrt{ab}\).

Mà \(a,b>0\) nên luôn có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\), không thỏa được phương trình trên nhe.

Bài này chọn điểm rơi hợp lí nhé, cụ thể, viết lại \(P\) thành:

\(P=\dfrac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\).

Theo \(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow3\left(a+b\right)\ge6\sqrt{ab}\).

Do đó: \(P\ge\dfrac{6\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}+2\sqrt{\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}}=\dfrac{5}{2}\).

Vậy: \(P_{min}=\dfrac{5}{2}\), dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b.\)

Đặt \(P=\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{sin\alpha-cos\alpha}{cos\alpha}}=\dfrac{tan\alpha+1}{tan\alpha-1}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\dfrac{1}{3}+1}{\dfrac{1}{3}-1}=-2.\)

Ta viết lại đẳng thức: \(P\left(\sqrt{x}-3\right)=2\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{3P-1}{P-2}\ge1\)

\(\Rightarrow\dfrac{3P-1}{P-2}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{2P+1}{P-2}\ge0\)

Trường hợp 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}2P+1\ge0\\P-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\ge-\dfrac{1}{2}\\P>2\end{matrix}\right.\Rightarrow P>2\)

Trường hợp 2: \(\left\{{}\begin{matrix}2P+1\le0\\P-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\le-\dfrac{1}{2}\\P< 2\end{matrix}\right.\Rightarrow P\le-\dfrac{1}{2}\).

Vậy: \(P_{max}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=1.\)

Một vật hình cầu, bán kính \(R\). Cho mật độ khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng cách \(r\) đến tâm của nó theo quy luật \(\rho=\dfrac{3m}{7\pi R^3}\left(1+\dfrac{r}{R}\right)\), với \(m\) là hằng số dương. Tìm khối lượng và momen quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó.

3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(4m-11\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+12>0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+3>0\) (luôn đúng).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m-11\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(2\left(x_1-1\right)^2+\left(6-x_2\right)\left(x_1x_2+11\right)=72\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1^2-2x_1+1\right)+\left(6-x_2\right)\left(4m-11+11\right)=72\)

Do \(x_1\) là nghiệm của phương trình nên:

\(x_1^2+2\left(m-1\right)x_1+4m-11=0\Leftrightarrow x_1^2=-2\left(m-1\right)x_1-4m+11\)

Suy ra: \(-2\left(m-1\right)x_1-4m+11-2x_1+1+2m\left(6-x_2\right)=36\)

\(\Leftrightarrow-m\left(x_1+x_2\right)+4m=12\)

\(\Rightarrow-m\left(2-2m\right)+4m=12\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)