Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)(AB<AC) và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O). Vẽ dây AF của đường tròn (O) song song với BC, EF cắt AC tại Q, BF cắt AD tại P. Chứng minh rằng PQ song song với BC

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)(AB<AC) và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh AD.AE=AB.AC

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a+c)(b+c)=4c². Tìm GTLN, GTNN của biể thức \(\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{c+3a}+\frac{ab}{bc+ca}\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}\\x^3-3x+2=2y^3-y^2\end{matrix}\right.\)

Cho phương trình: \(x^2-\left(3m-2\right)x+2m^2-5m-3=0\), x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương.

Cho đường tròn (O;R) và (O';r) cắt nhau ở A, B (O, O' nằm khác phía so với đoạn thẳng AB). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A (P\(\in\)(O); Q\(\in\)(O')) sao cho A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp:

a) A là trung điểm của PQ.

b) PQ có độ dài lớn nhất.

c) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất.

Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn \(x^3-y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)

Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn \(x^3+y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)

Cho a, b là hai số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d để a - b = a²c - b²d. C/m: a-b và c(a+b)-1 nguyên tố cùng nhau

Giải phương trình: x³ = 6 \(\sqrt[3]{6x+4}\) + 4