Gọi hai cặp phân số tối giản là\(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)

Với (a,b) =(c,d)=1. Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\Leftrightarrow ad+bc=ac\)

Do ad chia hết cho a nên bc chia hết cho c, mà (b,a)=1 suy ra c chia hết cho a                        (1)

Tương tự bc chia hết cho a nên ad chia hết cho c mà (d,c) =1 suy ra a chia hết cho c              (2)

Từ (1) và(2) suy ra a=c  hoặc a=-c

TH1:a=c suy ra b+d =a=c

TH2:a=-c suy ra a=-c=b=-d

Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh)

Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh)

Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh)

Tổng số giải đạt được là:

3 x a + 2 x b + c = 15 (giải

Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c.

Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên:

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán.

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ.

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ.

Do vậy b = 3.

Giải sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là:

3 x 2 + 2 x 3 + 4 = 16 > 15 (loại). Do đó a < 2, nên a = 1.

Ta có:

3 x 1 + 2 x b + c = 15 suy ra: 2 x b + c = 12.

Nếu b = 3 thì c = 12 - 2 x 3 = 6 (đúng).

Nếu b = 4 thì c = 12 - 2 x 4 = 4 (loại vì trái với điều kiện b < c).

Đội tuyển đó có số học sinh là:

1 + 3 + 6 = 10 (bạn)

Đáp số: 10 bạn

Thùng thứ nhất lúc sau là:

  ( 495 - 15 ) : 2 = 240 (l)

Thùng thứ nhất lúc đầu là:

  240 + 45 = 285 (l)

Thùng thứ hai lúc đầu là:

  495 - 285 = 210 (l)