a: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

b: Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

Gọi x là số cần tìm

x chia 2 dư 1

=>x-1⋮2

=>x-1-22⋮2

=>x-23⋮2(1)

x chia 3 dư 2

=>x-2⋮3

=>x-2-21⋮3

=>x-23⋮3(2)

x chia 5 dư 3

=>x-3⋮5

=>x-3-20⋮5

=>x-23⋮5(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra x-23∈BC(2;3;5)

=>x-23∈B(30)

=>x-23∈{0;30;60;90;...}

=>x∈{23;53;83;113;...}

mà x là số có hai chữ số

nên x∈{23;53;83}

Tổng các số có hai chữ số thỏa mãn là:

23+53+83=159

Gọi số phần thưởng theo các cặp Toán-Lý, Toán-Hóa, Lý-Hóa lần lượt là x,y,z

Theo đề, ta có hệ: \(\begin{cases} x + y = 7 \\ x + z = 6 \\ y + z = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 2 \end{cases}\)

n(Ω)=9!

Trường hợp 1: A và B cùng nhận bộ (Toán + Lý).

Số cách chọn 2 bộ (Toán + Lý) trong số 4 bộ là: \(C_4^2\) (cách)

Số cách trao 2 bộ này cho 2 bạn A và B là 2! cách

7 bộ phần thưởng còn lại phân phối ngẫu nhiên cho 7 học sinh còn lại có 7! cách.

Số cách là: \(C_4^2 \cdot 2! \cdot 7! = 4 \cdot 3 \cdot 7! = 12 \cdot 7!\)

Trường hợp 2: A và B cùng nhận bộ (Toán + Hóa).

Số cách chọn 2 bộ (Toán + Hóa) trong số 3 bộ có \(C_3^2\) (cách)

Số cách trao cho A và B là 2! cách.

7 bộ phần thưởng còn lại phân phối cho 7 học sinh còn lại có 7! cách.

Số cách là: \(C_3^2 \cdot 2! \cdot 7! = 3 \cdot 2 \cdot 7! = 6 \cdot 7!\)

Trường hợp 3: A và B cùng nhận bộ (Lý + Hóa).

Số cách chọn 2 bộ (Lý + Hóa) trong số 2 bộ là: \(C_2^2\) (cách)

Số cách trao cho A và B là 2! cách.

7 bộ phần thưởng còn lại phân phối cho 7 học sinh còn lại có 7! cách.

Số cách là: \(C_2^2 \cdot 2! \cdot 7! = 1 \cdot 2 \cdot 7! = 2 \cdot 7!\)

Tổng số cách thuận lợi cho biến cố A và B nhận phần thưởng giống nhau là:

\(n(A) = 12 \cdot 7! + 6 \cdot 7! + 2 \cdot 7! = 20 \cdot 7!\)

Xác suất là:

\(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{20 \cdot 7!}{9!} = \frac{20 \cdot 7!}{9 \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}\)

a: ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔHNB vuông tại H và ΔHAM vuông tại H có

\(\hat{HNB}=\hat{HAM}\left(=90^0-\hat{ABN}\right)\)

Do đó: ΔHNB~ΔHAM

=>\(\frac{HN}{HA}=\frac{HB}{HM}\)

=>\(HN\cdot HM=HB\cdot HA\)

=>\(\frac12\cdot AB\cdot\frac12\cdot AB=HM\cdot HN\)

=>\(AB^2=4\cdot HM\cdot HN\)

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAOB vuông tại O có

\(\hat{HAM}\) chung

Do đó: ΔAHM~ΔAOB

=>\(\frac{AH}{AO}=\frac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AO=AH\cdot AB=\frac12\cdot AB\cdot AB=\frac12\cdot AB^2\)

=>\(AB^2=2\cdot AM\cdot AO\)

Bài 1:

a: Sửa đề: So sánh diện tích AID và AIB

Ta có: AB//CD
=>\(\frac{IB}{ID}=\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{CD}=\frac23\)

\(\frac{IB}{ID}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{AIB}}{S_{AID}}=\frac23\)

=>\(S_{AID}=\frac32\times S_{AIB}\)

b: Ta có: \(S_{AID}=\frac32\times S_{AIB}\)

=>\(S_{AID}=\frac32\times6=9\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(\frac{IA}{IC}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{BIA}}{S_{BIC}}=\frac23\)

=>\(\frac{6}{S_{BIC}}=\frac69\)

=>\(S_{BIC}=9\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(\frac{IA}{IC}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{DIA}}{S_{DIC}}=\frac23\)

=>\(\frac{9}{S_{DIC}}=\frac23=\frac{9}{13,5}\)

=>\(S_{DIC}=13,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S_{ABCD}=S_{AIB}+S_{AID}+S_{BIC}+S_{DIC}\)

=6+9+9+13,5

=19,5+18

=37,5\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Bài 1:

a: Sửa đề: So sánh diện tích AID và AIB

Ta có: AB//CD
=>\(\frac{IB}{ID}=\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{CD}=\frac23\)

\(\frac{IB}{ID}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{AIB}}{S_{AID}}=\frac23\)

=>\(S_{AID}=\frac32\times S_{AIB}\)

b: Ta có: \(S_{AID}=\frac32\times S_{AIB}\)

=>\(S_{AID}=\frac32\times6=9\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(\frac{IA}{IC}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{BIA}}{S_{BIC}}=\frac23\)

=>\(\frac{6}{S_{BIC}}=\frac69\)

=>\(S_{BIC}=9\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(\frac{IA}{IC}=\frac23\)

=>\(\frac{S_{DIA}}{S_{DIC}}=\frac23\)

=>\(\frac{9}{S_{DIC}}=\frac23=\frac{9}{13,5}\)

=>\(S_{DIC}=13,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S_{ABCD}=S_{AIB}+S_{AID}+S_{BIC}+S_{DIC}\)

=6+9+9+13,5

=19,5+18

=37,5\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(x^2-2x-y^2+5=0\)

=>\(x^2-2x+1-y^2+4=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2=y^2-4\)

\(\left|x-1\right|=4-y^2\)

=>\(\left(x-1\right)^2=\left(4-y^2\right)^2=\left(y^2-4\right)^2\)

=>\(\left(y^2-4\right)^2=y^2-4\)

=>\(\left(y^2-4\right)\left(y^2-4-1\right)=0\)

=>\(\left(y^2-4\right)\left(y^2-5\right)=0\)

TH1: \(y^2-4=0\)

=>\(y^2=4\)

=>y=2 hoặc y=-2

\(\left|x-1\right|=4-y^2=4-4=0\)

=>x-1=0

=>x=1

TH2: \(y^2-5=0\)

=>\(y^2=5\)

\(\left|x-1\right|=4-y^2=4-5=-1<0\) (vô lý)

=>Loại

a: OD là phân giác của góc AOC

=>\(\hat{AOC}=2\cdot\hat{COD}\)

OE là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{COE}\)

\(\hat{AOC}+\hat{BOC}=\hat{AOB}\) (tia OC nằm giữa hai tia OA và OB)

=>\(2\left(\hat{COD}+\hat{COE}\right)=\hat{AOB}\)

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{DOE}\)

=>\(\hat{DOE}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

b: \(\hat{AOC}+\hat{BOC}=\hat{AOB}\) (tia OC nằm giữa hai tia OA và OB)

=>\(2\left(\hat{COD}+\hat{COE}\right)=\hat{AOB}\)

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{DOE}=2\cdot90^0=180^0\)

=>OA và OB là hai tia đối nhau

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AB=AC

AH chung

HB=HC

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{AHB}=\hat{AHC}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{AHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AHB}=\hat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AH⊥BC tại H

Xét ΔABC đều có AH là đường cao

nên \(AH=BC\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOHC vuông tại H có

OH chung

HB=HC

Do đó: ΔOHB=ΔOHC

=>OB=OC

Xét ΔABO và ΔACO có

AB=AC

OB=OC

AO chung

Do đó: ΔABO=ΔACO

=>\(\hat{ABO}=\hat{ACO}\)

=>\(\hat{ABO}=90^0\)

=>BO⊥BA tại B

ΔCAB vuông tại C

=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)

=>\(\hat{CBA}=90^0-60^0=30^0\)

AE là phân giác của góc CAB

=>\(\hat{CAE}=\hat{EAB}=\frac12\cdot\hat{CAB}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}=\hat{EBA}\left(=30^0\right)\)

nên ΔEAB cân tại E

=>\(\hat{AEB}=180^0-2\cdot\hat{EAB}=120^0\)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có

EA=EB

EK chung

Do đó: ΔEKA=ΔEKB

=>\(\hat{AEK}=\hat{BEK}\)

=>EK là phân giác của góc AEB

=>\(\hat{AEK}=\hat{BEK}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Ta có: \(\hat{AEB}+\hat{DEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{DEB}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔBKE vuông tại K và ΔBDE vuông tại D có

EB chung

\(\hat{KEB}=\hat{DEB}\)

Do đó: ΔBKE=ΔBDE

=>BK=BD và \(\hat{KBE}=\hat{DBE}\)

=>BD=BK và \(\hat{DBE}=\hat{KBE}=30^0\)

\(\hat{KBD}=\hat{KBE}+\hat{DBE}=30^0+30^0=60^0\)

Xét ΔBDK có BD=BK và \(\hat{DBK}=60^0\)

nên ΔBDK đều