Sửa đề: \(M=\frac12+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{100}{2^{100}}\)

=>2M=\(1+\frac22+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{100}{2^{99}}\)

=>2M-M=\(1+\frac22+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{100}{2^{99}}-\frac12-\frac{2}{2^2}-\frac{3}{2^3}-\cdots-\frac{100}{2^{100}}\)

=>M=\(1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

=>\(N=1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}+\frac{102}{2^{100}}\)

=>N=\(1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{100}}\)

=>2N=\(2+1+\frac12+\cdots+\frac{1}{2^{99}}\)

=>2N-N=\(2+1+\frac12+\cdots+\frac{1}{2^{99}}-1-\frac12-\frac{1}{2^2}-\cdots-\frac{1}{2^{100}}\)

=>N=\(2-\frac{1}{2^{100}}=\frac{2^{101}-1}{2^{100}}\)

Gọi AE là phân giác của góc BAC(E∈BC)

Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MA=MD

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=DC

mà AB<AC

nên CD<CA

ΔMAB=ΔMDC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)

Xét ΔCAD có CD<CA

mà \(\hat{CAD};\hat{CDA}\) lần lượt là góc đối diện với các cạnh CD,CA

nên \(\hat{CAD}<\hat{CDA}\)

=>\(\hat{CAD}<\hat{BAD}\)

=>\(\hat{MAB}>\hat{MAC}\)

=>\(\hat{MAB}>\hat{BAC}\cdot\frac12=\hat{BAE}\)

=>tia AE nằm giữa hai tia AM và AB

=>E nằm giữa M và B

=>ĐPCM

a: \(\frac{8}{15}-\frac15=\frac{8}{15}-\frac{3}{15}=\frac{8-3}{15}=\frac{5}{15}=\frac13\)

b: \(\frac23-\frac35=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{1}{15}\)

ΔDEF~ΔABC

=>\(\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}\)

=>\(\frac{DE}{5}=\frac{EF}{6}=\frac{DF}{7}\)

Cạnh nhỏ nhất của ΔDEF là 1,5m

=>DE=1,5m

\(\frac{DE}{5}=\frac{EF}{6}=\frac{DF}{7}\)

=>\(\frac{EF}{6}=\frac{DF}{7}=\frac{1.5}{6}=\frac14\)

=>\(EF=\frac64=1.5\left(m\right);DF=7\cdot\frac14=1,75\left(m\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac68=\frac34\)

=>\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=10cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{10}{7}\)

=>\(\begin{cases}DB=3\cdot\frac{10}{7}=\frac{30}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=4\cdot\frac{10}{7}=\frac{40}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: DE⊥AB

AC⊥ AB

Do đó: DE//AC

Xét ΔABC có DE//AC

nên \(\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{AC}\)

=>\(\frac{BE}{6}=\frac{DE}{8}=\frac{30}{7}:10=\frac37\)

=>\(BE=6\cdot\frac37=\frac{18}{7}\left(\operatorname{cm}\right);DE=8\cdot\frac37=\frac{24}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

AE+EB=AB

=>\(AE=6-\frac{18}{7}=\frac{24}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình thang AEDC là:

\(S_{AEDC}=\frac12\cdot AE\cdot\left(AC+DE\right)\)

\(=\frac12\cdot\frac{24}{7}\left(\frac{24}{7}+8\right)=\frac{12}{7}\cdot\frac{80}{7}=\frac{960}{49}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi số lít nước ở 100 độ C cần có là x(lít)

(ĐIều kiện: x>0)

Số lít nước ở nhiệt độ 16 độ C là 100-x(lít)

Lượng nhiệt nước nóng tỏa ra bằng lượng nhiệt nước lạnh thu vào: \(Q_{\text{tỏa}} = Q_{\text{thu}}\)

=>\(x\left(100-58\right)=\left(100-x\right)\left(58-16\right)\)

=>x=100-x

=>2x=100

=>x=50(nhận)

Vậy: số lít nước ở 100 độ C cần có là 50(lít)

số lít nước ở 16 độ C cần có là 100-50=50(lít)

a: Thay x=2 và y=2 vào \(y=ax^2\) , ta được:

\(a\cdot2^2=2\)

=>4a=2

=>\(a=\frac24=\frac12\)

b: Khi a=1/2 thì \(y=\frac12x^2\)

Vẽ đồ thị:

a: Xét tứ giác OMNP có \(\hat{OMP}=\hat{ONP}=90^0\)

nên OMNP là tứ giác nội tiếp

Tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là:

\(\frac13:\frac12=\frac23\)

Tổng số phần bằng nhau là 2+3=5(phần)

Số thứ nhất là 112,5:5x2=45

Bài 18:

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

=>\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}\)

mà DA+DC=AC=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac88=1\)

=>\(\begin{cases}DA=3\cdot1=3\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot1=5\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

Bài 17:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

b: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBEC vuông tại E có

\(\hat{ABD}=\hat{EBC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

Do đó: ΔBAD~ΔBEC

=>\(\frac{DB}{CB}=\frac{AD}{EC}\)

=>\(DB\cdot EC=BC\cdot AD\)

c: Xét ΔDEC vuông tại E và ΔDAB vuông tại A có

\(\hat{EDC}=\hat{ADB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDEC~ΔDAB

=>\(\hat{ABD}=\hat{ECD}\)

mà \(\hat{ABD}=\hat{EBC}\) (BE là phân giác của góc ABC)

nên \(\hat{ECD}\) =\(\hat{EBC}\)

Xét ΔECD vuông tại E và ΔEBC vuông tại E có

\(\hat{ECD}=\hat{EBC}\)

Do đó: ΔECD~ΔEBC

=>\(\frac{CD}{BC}=\frac{EC}{EB}\)