d nhận \(\overrightarrow{u_1}=\left(m,m,-1\right)\) là 1 vtcp

\(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{u_2}=\left(1,-1,2m\right)\) là 1 vtcp

Hai đường thẳng tạo với nhau 1 góc 60 độ khi:

\(cos60^0=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\left|m-m-2m\right|}{\sqrt{m^2+m^2+\left(-1\right)^2}.\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+\left(2m\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|2m\right|}{\sqrt{\left(2m^2+1\right)\left(4m^2+2\right)}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow16m^2=\left(2m^2+1\right)\left(4m^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^4-4m^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến trường là:

7 giờ 10 phút - 60 giờ 40 phút = 30 phút

Đổi 30 phút =0,5 giờ

Quãng đường từ nhà Hoa đến trường là:

\(5\times0,5=2,5\left(km\right)\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}\ge\dfrac{2}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow x+2\ge\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow x\ge\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\ge0\)

Do \(\sqrt{x}\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}-1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

a.

Xét hai tam giác AMB và CMD có:

\(AM=CM\) (do M là trung điểm AC)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\) (đối đỉnh)

\(MB=MD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c.g.c\right)\) (1)

\(\Rightarrow AB=CD\)

Cũng từ (1) suy ra \(\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)

Mà \(\widehat{BAM}=90^0\) (do tam giác ABC vuông tại A)

\(\Rightarrow\widehat{DCM}=90^0\)

\(\Rightarrow CD\perp AC\)

b.

Áp dụng BĐT tam giác trong tam giác BCD:

\(BC+CD>BD\)

Mà \(CD=AB\) (theo cm câu a) và \(BD=2BM\) (do \(MB=MD\))

\(\Rightarrow AB+BC>2BM\)

c.

Theo cm câu a, do \(\Delta AMB=\Delta CMD\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{CDM}\) (1)

Xét tam giác vuông ABC, do BC là cạnh huyền và AB là cạnh góc vuông nên \(BC>AB\)

Mà \(AB=CD\) (theo cm câu a) 

\(\Rightarrow BC>CD\)

\(\Rightarrow\widehat{CDM}>\widehat{CBM}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác BCD) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\widehat{ABM}>\widehat{CBM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}OD\perp AB\\OC\perp\left(ABC\right)\Rightarrow OC\perp AB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(OCD\right)\Rightarrow AB\perp KH\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}AK\perp OB\\OC\perp\left(OAB\right)\Rightarrow OC\perp AK\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AK\perp\left(OBC\right)\Rightarrow AK\perp BC\)

H là trực tâm ABC nên \(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(AHK\right)\Rightarrow BC\perp KH\) (2)

(1),(2) \(\Rightarrow KH\perp\left(ABC\right)\)

Câu 5:

Đề bài câu này sai rồi em.

Ví dụ, nếu \(P\left(x\right)=x^2+x-100\)

Khi đó \(a=1;b=1;c=-100\) thỏa mãn \(9a+2b=11>0\)

Nhưng \(P\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-1-100=-100< 0\) là số âm

\(P\left(2\right)=2^2+2-100=-94< 0\) là số âm

\(P\left(-3\right)=\left(-3\right)^2-3-100=-94\) là 1 số âm

Ta thấy ngay ko có số nào trong 3 số \(P\left(-1\right);P\left(2\right);P\left(-3\right)\) là số dương hết

Hình vẽ bài 4:

Câu 4d.

Theo cm câu a, do \(\Delta ABH=\Delta ACH\Rightarrow\widehat{GAM}=\widehat{GAN}\)

Do M là trung điểm AB nên \(AM=\dfrac{1}{2}AB\)

Do N là trung điểm AC nên \(AN=\dfrac{1}{2}AC\)

Mà \(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow AM=AN\)

Xét hai tam giác GAM và GAN có:

`AG` là cạnh chung

\(\widehat{GAM}=\widehat{GAN}\left(cmt\right)\)

\(AM=AN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta GAM=\Delta GAN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow GM=NG\) (1) 

Mặt khác theo cm câu c, do \(\left\{{}\begin{matrix}NG=\dfrac{1}{2}BG\\BG=GK\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow NG=\dfrac{1}{4}BK\) (2)

Theo cm câu b, do \(\Delta ANG=\Delta CNK\Rightarrow AG=CK\) (3)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác BCK:

\(BK< BC+CK\Rightarrow\dfrac{1}{4}BK< \dfrac{1}{4}\left(BC+CK\right)\) (4)

Từ (1),(2),(3),(4) \(\Rightarrow GM< \dfrac{1}{4}\left(BC+AG\right)\)

Câu 4c.

Theo cm câu a, do \(\Delta ABH=\Delta ACH\Rightarrow BH=CH\)

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow AH\) là 1 trung tuyến của tam giác ABC

Mà N là trung điểm AC nên BN cũng là 1 trung tuyến của tam giác ABC

\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow NG=\dfrac{1}{2}BG\) theo t/c trọng tâm

Lại có \(NG=NK\left(gt\right)\Rightarrow NG=\dfrac{1}{2}GK\)

\(\Rightarrow BG=GK\)

\(\Rightarrow G\) là trung điểm BK

\(\Rightarrow CG\) là 1 trung tuyến của tam giác BCK

Theo cmt, H là trung điểm BC nên KH cũng là 1 trung tuyến của tam giác BCK

Mà I là giao điểm CG và KH

\(\Rightarrow I\) là trọng tâm tam giác BCK